Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55804 / 14332
↖ ↑ ↗
← N 80.180587°
W 26.729736°		 ← 52.09 m → N 80.180587°
W 26.726990°		 →
↑
52.05 m
↓
↑
52.05 m
↓
N 80.180119°
W 26.729736°		 ← 52.09 m →
2 711 m²		 N 80.180119°
W 26.726990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425754547119141 y=0.109348297119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425754547119141 × 217)
    floor (0.425754547119141 × 131072)
    floor (55804.5)     		tx = 55804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109348297119141 × 217)
    floor (0.109348297119141 × 131072)
    floor (14332.5)     		ty = 14332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55804 / 14332 ti = "17/55804/14332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55804/14332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55804 ÷ 217
    55804 ÷ 131072     		x = 0.425750732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14332 ÷ 217
    14332 ÷ 131072     		y = 0.109344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425750732421875 × 2 - 1) × π
    -0.14849853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46652191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109344482421875 × 2 - 1) × π
    0.78131103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.45456100814536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46652191} λ = -0.46652191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45456100814536))-π/2
    2×atan(11.6413219814662)-π/2
    2×1.48510578583731-π/2
    2.97021157167461-1.57079632675     		φ = 1.39941524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46652191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.729736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39941524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.180587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55804 KachelY 14332 -0.46652191 1.39941524 -26.729736 80.180587
    Oben rechts KachelX + 1 55805 KachelY 14332 -0.46647397 1.39941524 -26.726990 80.180587
    Unten links KachelX 55804 KachelY + 1 14333 -0.46652191 1.39940707 -26.729736 80.180119
    Unten rechts KachelX + 1 55805 KachelY + 1 14333 -0.46647397 1.39940707 -26.726990 80.180119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39941524-1.39940707) × R
    8.16999999986301e-06 × 6371000     		dl = 52.0510699991272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39941524-1.39940707) × R
    8.16999999986301e-06 × 6371000     		dr = 52.0510699991272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46652191--0.46647397) × cos(1.39941524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170543365391865 × 6371000     		do = 52.0883335768665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46652191--0.46647397) × cos(1.39940707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170551415697074 × 6371000     		du = 52.0907923472923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39941524)-sin(1.39940707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170543365391865-0.170551415697074)×R²
    abs(-0.46647397--0.46652191)×8.05030520933947e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.05030520933947e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.05030520933947e-06×40589641000000     		ar = 2711.31748800578m²