Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5579 / 11827
↖ ↑ ↗
← S 62.134708°
W 57.414551°		 ← 1 141.97 m → S 62.134708°
W 57.392578°		 →
↑
1 141.81 m
↓
↑
1 141.81 m
↓
S 62.144976°
W 57.414551°		 ← 1 141.59 m →
1 303 698 m²		 S 62.144976°
W 57.392578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340545654296875 y=0.721893310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340545654296875 × 214)
    floor (0.340545654296875 × 16384)
    floor (5579.5)     		tx = 5579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721893310546875 × 214)
    floor (0.721893310546875 × 16384)
    floor (11827.5)     		ty = 11827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5579 / 11827 ti = "14/5579/11827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5579/11827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5579 ÷ 214
    5579 ÷ 16384     		x = 0.34051513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11827 ÷ 214
    11827 ÷ 16384     		y = 0.72186279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34051513671875 × 2 - 1) × π
    -0.3189697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00207295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72186279296875 × 2 - 1) × π
    -0.4437255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39400504095123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00207295} λ = -1.00207295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39400504095123))-π/2
    2×atan(0.248079742800393)-π/2
    2×0.243170547250283-π/2
    0.486341094500565-1.57079632675     		φ = -1.08445523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00207295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.414551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08445523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.134708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5579 KachelY 11827 -1.00207295 -1.08445523 -57.414551 -62.134708
    Oben rechts KachelX + 1 5580 KachelY 11827 -1.00168945 -1.08445523 -57.392578 -62.134708
    Unten links KachelX 5579 KachelY + 1 11828 -1.00207295 -1.08463445 -57.414551 -62.144976
    Unten rechts KachelX + 1 5580 KachelY + 1 11828 -1.00168945 -1.08463445 -57.392578 -62.144976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08445523--1.08463445) × R
    0.000179219999999924 × 6371000     		dl = 1141.81061999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08445523--1.08463445) × R
    0.000179219999999924 × 6371000     		dr = 1141.81061999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00207295--1.00168945) × cos(-1.08445523) × R
    0.000383500000000092 × 0.467394374584534 × 6371000     		do = 1141.97462644361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00207295--1.00168945) × cos(-1.08463445) × R
    0.000383500000000092 × 0.467235927831058 × 6371000     		du = 1141.58749689745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08445523)-sin(-1.08463445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467394374584534-0.467235927831058)×R²
    abs(-1.00168945--1.00207295)×0.000158446753476094×R²
    0.000383500000000092×0.000158446753476094×6371000²
    0.000383500000000092×0.000158446753476094×40589641000000     		ar = 1303697.74541927m²