Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5578 / 11964
↖ ↑ ↗
← S 63.509376°
W 57.436523°		 ← 1 089.80 m → S 63.509376°
W 57.414551°		 →
↑
1 089.63 m
↓
↑
1 089.63 m
↓
S 63.519175°
W 57.436523°		 ← 1 089.43 m →
1 187 277 m²		 S 63.519175°
W 57.414551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340484619140625 y=0.730255126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340484619140625 × 214)
    floor (0.340484619140625 × 16384)
    floor (5578.5)     		tx = 5578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730255126953125 × 214)
    floor (0.730255126953125 × 16384)
    floor (11964.5)     		ty = 11964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5578 / 11964 ti = "14/5578/11964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5578/11964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5578 ÷ 214
    5578 ÷ 16384     		x = 0.3404541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11964 ÷ 214
    11964 ÷ 16384     		y = 0.730224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.319091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00245644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730224609375 × 2 - 1) × π
    -0.46044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44654388293481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00245644} λ = -1.00245644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44654388293481))-π/2
    2×atan(0.235382393025956)-π/2
    2×0.231174310088869-π/2
    0.462348620177738-1.57079632675     		φ = -1.10844771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00245644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.436523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10844771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.509376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5578 KachelY 11964 -1.00245644 -1.10844771 -57.436523 -63.509376
    Oben rechts KachelX + 1 5579 KachelY 11964 -1.00207295 -1.10844771 -57.414551 -63.509376
    Unten links KachelX 5578 KachelY + 1 11965 -1.00245644 -1.10861874 -57.436523 -63.519175
    Unten rechts KachelX + 1 5579 KachelY + 1 11965 -1.00207295 -1.10861874 -57.414551 -63.519175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10844771--1.10861874) × R
    0.000171029999999961 × 6371000     		dl = 1089.63212999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10844771--1.10861874) × R
    0.000171029999999961 × 6371000     		dr = 1089.63212999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00245644--1.00207295) × cos(-1.10844771) × R
    0.000383489999999931 × 0.44605136456709 × 6371000     		do = 1089.7992910098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00245644--1.00207295) × cos(-1.10861874) × R
    0.000383489999999931 × 0.445898284934728 × 6371000     		du = 1089.42528458796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10844771)-sin(-1.10861874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44605136456709-0.445898284934728)×R²
    abs(-1.00207295--1.00245644)×0.000153079632362829×R²
    0.000383489999999931×0.000153079632362829×6371000²
    0.000383489999999931×0.000153079632362829×40589641000000     		ar = 1187276.56092235m²