Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5578 / 11962
↖ ↑ ↗
← S 63.489767°
W 57.436523°		 ← 1 090.55 m → S 63.489767°
W 57.414551°		 →
↑
1 090.40 m
↓
↑
1 090.40 m
↓
S 63.499573°
W 57.436523°		 ← 1 090.17 m →
1 188 925 m²		 S 63.499573°
W 57.414551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340484619140625 y=0.730133056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340484619140625 × 214)
    floor (0.340484619140625 × 16384)
    floor (5578.5)     		tx = 5578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730133056640625 × 214)
    floor (0.730133056640625 × 16384)
    floor (11962.5)     		ty = 11962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5578 / 11962 ti = "14/5578/11962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5578/11962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5578 ÷ 214
    5578 ÷ 16384     		x = 0.3404541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11962 ÷ 214
    11962 ÷ 16384     		y = 0.7301025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.319091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00245644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7301025390625 × 2 - 1) × π
    -0.460205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44577689254089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00245644} λ = -1.00245644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44577689254089))-π/2
    2×atan(0.235562998312711)-π/2
    2×0.23134542736864-π/2
    0.462690854737281-1.57079632675     		φ = -1.10810547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00245644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.436523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10810547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.489767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5578 KachelY 11962 -1.00245644 -1.10810547 -57.436523 -63.489767
    Oben rechts KachelX + 1 5579 KachelY 11962 -1.00207295 -1.10810547 -57.414551 -63.489767
    Unten links KachelX 5578 KachelY + 1 11963 -1.00245644 -1.10827662 -57.436523 -63.499573
    Unten rechts KachelX + 1 5579 KachelY + 1 11963 -1.00207295 -1.10827662 -57.414551 -63.499573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10810547--1.10827662) × R
    0.00017115000000012 × 6371000     		dl = 1090.39665000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10810547--1.10827662) × R
    0.00017115000000012 × 6371000     		dr = 1090.39665000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00245644--1.00207295) × cos(-1.10810547) × R
    0.000383489999999931 × 0.44635764575849 × 6371000     		do = 1090.54760174653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00245644--1.00207295) × cos(-1.10827662) × R
    0.000383489999999931 × 0.446204484847751 × 6371000     		du = 1090.17339674416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10810547)-sin(-1.10827662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44635764575849-0.446204484847751)×R²
    abs(-1.00207295--1.00245644)×0.000153160910738026×R²
    0.000383489999999931×0.000153160910738026×6371000²
    0.000383489999999931×0.000153160910738026×40589641000000     		ar = 1188925.43857241m²