Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55777 / 44037
↖ ↑ ↗
← N 50.727763°
W 26.803894°		 ← 193.30 m → N 50.727763°
W 26.801148°		 →
↑
193.36 m
↓
↑
193.36 m
↓
N 50.726024°
W 26.803894°		 ← 193.30 m →
37 376 m²		 N 50.726024°
W 26.801148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425548553466797 y=0.335979461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425548553466797 × 217)
    floor (0.425548553466797 × 131072)
    floor (55777.5)     		tx = 55777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335979461669922 × 217)
    floor (0.335979461669922 × 131072)
    floor (44037.5)     		ty = 44037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55777 / 44037 ti = "17/55777/44037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55777/44037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55777 ÷ 217
    55777 ÷ 131072     		x = 0.425544738769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44037 ÷ 217
    44037 ÷ 131072     		y = 0.335975646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425544738769531 × 2 - 1) × π
    -0.148910522460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.46781620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335975646972656 × 2 - 1) × π
    0.328048706054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.03059540493159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46781620} λ = -0.46781620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03059540493159))-π/2
    2×atan(2.80273409970808)-π/2
    2×1.22808140604923-π/2
    2.45616281209847-1.57079632675     		φ = 0.88536649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46781620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.803894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88536649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.727763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55777 KachelY 44037 -0.46781620 0.88536649 -26.803894 50.727763
    Oben rechts KachelX + 1 55778 KachelY 44037 -0.46776827 0.88536649 -26.801148 50.727763
    Unten links KachelX 55777 KachelY + 1 44038 -0.46781620 0.88533614 -26.803894 50.726024
    Unten rechts KachelX + 1 55778 KachelY + 1 44038 -0.46776827 0.88533614 -26.801148 50.726024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88536649-0.88533614) × R
    3.03499999999568e-05 × 6371000     		dl = 193.359849999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88536649-0.88533614) × R
    3.03499999999568e-05 × 6371000     		dr = 193.359849999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46781620--0.46776827) × cos(0.88536649) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.633005826861017 × 6371000     		do = 193.295944292227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46781620--0.46776827) × cos(0.88533614) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.633029321931819 × 6371000     		du = 193.303118794742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88536649)-sin(0.88533614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633005826861017-0.633029321931819)×R²
    abs(-0.46776827--0.46781620)×2.34950708013493e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34950708013493e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34950708013493e-05×40589641000000     		ar = 37376.368426962m²