Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55775 / 44024
↖ ↑ ↗
← N 50.750360°
W 26.809387°		 ← 193.24 m → N 50.750360°
W 26.806641°		 →
↑
193.23 m
↓
↑
193.23 m
↓
N 50.748622°
W 26.809387°		 ← 193.25 m →
37 342 m²		 N 50.748622°
W 26.806641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425533294677734 y=0.335880279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425533294677734 × 217)
    floor (0.425533294677734 × 131072)
    floor (55775.5)     		tx = 55775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335880279541016 × 217)
    floor (0.335880279541016 × 131072)
    floor (44024.5)     		ty = 44024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55775 / 44024 ti = "17/55775/44024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55775/44024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55775 ÷ 217
    55775 ÷ 131072     		x = 0.425529479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44024 ÷ 217
    44024 ÷ 131072     		y = 0.33587646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425529479980469 × 2 - 1) × π
    -0.148941040039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.46791208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33587646484375 × 2 - 1) × π
    0.3282470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03121858462665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46791208} λ = -0.46791208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03121858462665))-π/2
    2×atan(2.80448125102774)-π/2
    2×1.22827859666491-π/2
    2.45655719332981-1.57079632675     		φ = 0.88576087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46791208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.809387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88576087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.750360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55775 KachelY 44024 -0.46791208 0.88576087 -26.809387 50.750360
    Oben rechts KachelX + 1 55776 KachelY 44024 -0.46786414 0.88576087 -26.806641 50.750360
    Unten links KachelX 55775 KachelY + 1 44025 -0.46791208 0.88573054 -26.809387 50.748622
    Unten rechts KachelX + 1 55776 KachelY + 1 44025 -0.46786414 0.88573054 -26.806641 50.748622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88576087-0.88573054) × R
    3.03300000000783e-05 × 6371000     		dl = 193.232430000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88576087-0.88573054) × R
    3.03300000000783e-05 × 6371000     		dr = 193.232430000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46791208--0.46786414) × cos(0.88576087) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632700469536004 × 6371000     		do = 193.243009106479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46791208--0.46786414) × cos(0.88573054) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632723956694291 × 6371000     		du = 193.250182689179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88576087)-sin(0.88573054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632700469536004-0.632723956694291)×R²
    abs(-0.46786414--0.46791208)×2.34871582871499e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34871582871499e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34871582871499e-05×40589641000000     		ar = 37341.509317449m²