Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55774 / 44021
↖ ↑ ↗
← N 50.755572°
W 26.812134°		 ← 193.18 m → N 50.755572°
W 26.809387°		 →
↑
193.23 m
↓
↑
193.23 m
↓
N 50.753834°
W 26.812134°		 ← 193.19 m →
37 330 m²		 N 50.753834°
W 26.809387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425525665283203 y=0.335857391357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425525665283203 × 217)
    floor (0.425525665283203 × 131072)
    floor (55774.5)     		tx = 55774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335857391357422 × 217)
    floor (0.335857391357422 × 131072)
    floor (44021.5)     		ty = 44021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55774 / 44021 ti = "17/55774/44021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55774/44021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55774 ÷ 217
    55774 ÷ 131072     		x = 0.425521850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44021 ÷ 217
    44021 ÷ 131072     		y = 0.335853576660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425521850585938 × 2 - 1) × π
    -0.148956298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46796001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335853576660156 × 2 - 1) × π
    0.328292846679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.03136239532551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46796001} λ = -0.46796001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03136239532551))-π/2
    2×atan(2.80488459443825)-π/2
    2×1.22832408868019-π/2
    2.45664817736038-1.57079632675     		φ = 0.88585185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46796001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.812134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88585185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.755572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55774 KachelY 44021 -0.46796001 0.88585185 -26.812134 50.755572
    Oben rechts KachelX + 1 55775 KachelY 44021 -0.46791208 0.88585185 -26.809387 50.755572
    Unten links KachelX 55774 KachelY + 1 44022 -0.46796001 0.88582152 -26.812134 50.753834
    Unten rechts KachelX + 1 55775 KachelY + 1 44022 -0.46791208 0.88582152 -26.809387 50.753834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88585185-0.88582152) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dl = 193.232429999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88585185-0.88582152) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dr = 193.232429999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46796001--0.46791208) × cos(0.88585185) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.63263001231361 × 6371000     		do = 193.181184798904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46796001--0.46791208) × cos(0.88582152) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632653501217721 × 6371000     		du = 193.188357418345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88585185)-sin(0.88582152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63263001231361-0.632653501217721)×R²
    abs(-0.46791208--0.46796001)×2.34889041107467e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34889041107467e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34889041107467e-05×40589641000000     		ar = 37329.5627630021m²