Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55771 / 44084
↖ ↑ ↗
← N 50.645977°
W 26.820373°		 ← 193.63 m → N 50.645977°
W 26.817627°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
N 50.644236°
W 26.820373°		 ← 193.64 m →
37 503 m²		 N 50.644236°
W 26.817627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425502777099609 y=0.336338043212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425502777099609 × 217)
    floor (0.425502777099609 × 131072)
    floor (55771.5)     		tx = 55771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336338043212891 × 217)
    floor (0.336338043212891 × 131072)
    floor (44084.5)     		ty = 44084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55771 / 44084 ti = "17/55771/44084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55771/44084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55771 ÷ 217
    55771 ÷ 131072     		x = 0.425498962402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44084 ÷ 217
    44084 ÷ 131072     		y = 0.336334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425498962402344 × 2 - 1) × π
    -0.149002075195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.46810382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336334228515625 × 2 - 1) × π
    0.32733154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02834237064944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46810382} λ = -0.46810382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02834237064944))-π/2
    2×atan(2.79642655192658)-π/2
    2×1.22736769213108-π/2
    2.45473538426215-1.57079632675     		φ = 0.88393906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46810382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.820373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88393906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.645977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55771 KachelY 44084 -0.46810382 0.88393906 -26.820373 50.645977
    Oben rechts KachelX + 1 55772 KachelY 44084 -0.46805589 0.88393906 -26.817627 50.645977
    Unten links KachelX 55771 KachelY + 1 44085 -0.46810382 0.88390866 -26.820373 50.644236
    Unten rechts KachelX + 1 55772 KachelY + 1 44085 -0.46805589 0.88390866 -26.817627 50.644236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88393906-0.88390866) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88393906-0.88390866) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46810382--0.46805589) × cos(0.88393906) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63411022228753 × 6371000     		do = 193.63318472159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46810382--0.46805589) × cos(0.88390866) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63413372857167 × 6371000     		du = 193.640362648233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88393906)-sin(0.88390866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63411022228753-0.63413372857167)×R²
    abs(-0.46805589--0.46810382)×2.35062841406064e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35062841406064e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35062841406064e-05×40589641000000     		ar = 37503.260511278m²