Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55770 / 44026
↖ ↑ ↗
← N 50.746883°
W 26.823120°		 ← 193.26 m → N 50.746883°
W 26.820373°		 →
↑
193.23 m
↓
↑
193.23 m
↓
N 50.745146°
W 26.823120°		 ← 193.26 m →
37 344 m²		 N 50.745146°
W 26.820373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425495147705078 y=0.335895538330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425495147705078 × 217)
    floor (0.425495147705078 × 131072)
    floor (55770.5)     		tx = 55770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335895538330078 × 217)
    floor (0.335895538330078 × 131072)
    floor (44026.5)     		ty = 44026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55770 / 44026 ti = "17/55770/44026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55770/44026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55770 ÷ 217
    55770 ÷ 131072     		x = 0.425491333007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44026 ÷ 217
    44026 ÷ 131072     		y = 0.335891723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425491333007812 × 2 - 1) × π
    -0.149017333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46815176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335891723632812 × 2 - 1) × π
    0.328216552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03112271082741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46815176} λ = -0.46815176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03112271082741))-π/2
    2×atan(2.80421238764399)-π/2
    2×1.22824826583997-π/2
    2.45649653167993-1.57079632675     		φ = 0.88570020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46815176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.823120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88570020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.746883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55770 KachelY 44026 -0.46815176 0.88570020 -26.823120 50.746883
    Oben rechts KachelX + 1 55771 KachelY 44026 -0.46810382 0.88570020 -26.820373 50.746883
    Unten links KachelX 55770 KachelY + 1 44027 -0.46815176 0.88566987 -26.823120 50.745146
    Unten rechts KachelX + 1 55771 KachelY + 1 44027 -0.46810382 0.88566987 -26.820373 50.745146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88570020-0.88566987) × R
    3.03300000000783e-05 × 6371000     		dl = 193.232430000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88570020-0.88566987) × R
    3.03300000000783e-05 × 6371000     		dr = 193.232430000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46815176--0.46810382) × cos(0.88570020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632747451014112 × 6371000     		do = 193.257358458972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46815176--0.46810382) × cos(0.88566987) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632770937008089 × 6371000     		du = 193.264531686062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88570020)-sin(0.88566987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632747451014112-0.632770937008089)×R²
    abs(-0.46810382--0.46815176)×2.3485993976835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3485993976835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3485993976835e-05×40589641000000     		ar = 37344.2820434276m²