Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55767 / 14745
↖ ↑ ↗
← N 79.985235°
W 26.831360°		 ← 53.10 m → N 79.985235°
W 26.828614°		 →
↑
53.13 m
↓
↑
53.13 m
↓
N 79.984757°
W 26.831360°		 ← 53.11 m →
2 822 m²		 N 79.984757°
W 26.828614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425472259521484 y=0.112499237060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425472259521484 × 217)
    floor (0.425472259521484 × 131072)
    floor (55767.5)     		tx = 55767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112499237060547 × 217)
    floor (0.112499237060547 × 131072)
    floor (14745.5)     		ty = 14745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55767 / 14745 ti = "17/55767/14745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55767/14745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55767 ÷ 217
    55767 ÷ 131072     		x = 0.425468444824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14745 ÷ 217
    14745 ÷ 131072     		y = 0.112495422363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425468444824219 × 2 - 1) × π
    -0.149063110351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.46829557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112495422363281 × 2 - 1) × π
    0.775009155273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.43476306860227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46829557} λ = -0.46829557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43476306860227))-π/2
    2×atan(11.4131142678797)-π/2
    2×1.48340101129632-π/2
    2.96680202259264-1.57079632675     		φ = 1.39600570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46829557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.831360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39600570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.985235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55767 KachelY 14745 -0.46829557 1.39600570 -26.831360 79.985235
    Oben rechts KachelX + 1 55768 KachelY 14745 -0.46824764 1.39600570 -26.828614 79.985235
    Unten links KachelX 55767 KachelY + 1 14746 -0.46829557 1.39599736 -26.831360 79.984757
    Unten rechts KachelX + 1 55768 KachelY + 1 14746 -0.46824764 1.39599736 -26.828614 79.984757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39600570-1.39599736) × R
    8.33999999994006e-06 × 6371000     		dl = 53.1341399996181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39600570-1.39599736) × R
    8.33999999994006e-06 × 6371000     		dr = 53.1341399996181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46829557--0.46824764) × cos(1.39600570) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.1739019584273 × 6371000     		do = 53.103055046307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46829557--0.46824764) × cos(1.39599736) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.173910171344429 × 6371000     		du = 53.1055629593538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39600570)-sin(1.39599736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1739019584273-0.173910171344429)×R²
    abs(-0.46824764--0.46829557)×8.21291712921335e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.21291712921335e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.21291712921335e-06×40589641000000     		ar = 2821.65178920046m²