Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55766 / 14698
↖ ↑ ↗
← N 80.007659°
W 26.834106°		 ← 53 m → N 80.007659°
W 26.831360°		 →
↑
53.01 m
↓
↑
53.01 m
↓
N 80.007182°
W 26.834106°		 ← 53 m →
2 809 m²		 N 80.007182°
W 26.831360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425464630126953 y=0.112140655517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425464630126953 × 217)
    floor (0.425464630126953 × 131072)
    floor (55766.5)     		tx = 55766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112140655517578 × 217)
    floor (0.112140655517578 × 131072)
    floor (14698.5)     		ty = 14698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55766 / 14698 ti = "17/55766/14698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55766/14698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55766 ÷ 217
    55766 ÷ 131072     		x = 0.425460815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14698 ÷ 217
    14698 ÷ 131072     		y = 0.112136840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425460815429688 × 2 - 1) × π
    -0.149078369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46834351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112136840820312 × 2 - 1) × π
    0.775726318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43701610288441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46834351} λ = -0.46834351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43701610288441))-π/2
    2×atan(11.4388573947752)-π/2
    2×1.4835966976676-π/2
    2.9671933953352-1.57079632675     		φ = 1.39639707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46834351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.834106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39639707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.007659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55766 KachelY 14698 -0.46834351 1.39639707 -26.834106 80.007659
    Oben rechts KachelX + 1 55767 KachelY 14698 -0.46829557 1.39639707 -26.831360 80.007659
    Unten links KachelX 55766 KachelY + 1 14699 -0.46834351 1.39638875 -26.834106 80.007182
    Unten rechts KachelX + 1 55767 KachelY + 1 14699 -0.46829557 1.39638875 -26.831360 80.007182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39639707-1.39638875) × R
    8.31999999983957e-06 × 6371000     		dl = 53.0067199989779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39639707-1.39638875) × R
    8.31999999983957e-06 × 6371000     		dr = 53.0067199989779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46834351--0.46829557) × cos(1.39639707) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.173516538434895 × 6371000     		do = 52.9964171537429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46834351--0.46829557) × cos(1.39638875) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.173524732222439 × 6371000     		du = 52.9989197473669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39639707)-sin(1.39638875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173516538434895-0.173524732222439)×R²
    abs(-0.46829557--0.46834351)×8.19378754379763e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.19378754379763e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.19378754379763e-06×40589641000000     		ar = 2809.23257229239m²