Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55763 / 44059
↖ ↑ ↗
← N 50.689498°
W 26.842346°		 ← 193.49 m → N 50.689498°
W 26.839599°		 →
↑
193.49 m
↓
↑
193.49 m
↓
N 50.687758°
W 26.842346°		 ← 193.50 m →
37 439 m²		 N 50.687758°
W 26.839599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425441741943359 y=0.336147308349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425441741943359 × 217)
    floor (0.425441741943359 × 131072)
    floor (55763.5)     		tx = 55763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336147308349609 × 217)
    floor (0.336147308349609 × 131072)
    floor (44059.5)     		ty = 44059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55763 / 44059 ti = "17/55763/44059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55763/44059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55763 ÷ 217
    55763 ÷ 131072     		x = 0.425437927246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44059 ÷ 217
    44059 ÷ 131072     		y = 0.336143493652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425437927246094 × 2 - 1) × π
    -0.149124145507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.46848732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336143493652344 × 2 - 1) × π
    0.327713012695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.02954079313995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46848732} λ = -0.46848732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02954079313995))-π/2
    2×atan(2.79977986133881)-π/2
    2×1.22774748207421-π/2
    2.45549496414842-1.57079632675     		φ = 0.88469864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46848732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.842346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88469864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.689498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55763 KachelY 44059 -0.46848732 0.88469864 -26.842346 50.689498
    Oben rechts KachelX + 1 55764 KachelY 44059 -0.46843938 0.88469864 -26.839599 50.689498
    Unten links KachelX 55763 KachelY + 1 44060 -0.46848732 0.88466827 -26.842346 50.687758
    Unten rechts KachelX + 1 55764 KachelY + 1 44060 -0.46843938 0.88466827 -26.839599 50.687758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88469864-0.88466827) × R
    3.03699999999463e-05 × 6371000     		dl = 193.487269999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88469864-0.88466827) × R
    3.03699999999463e-05 × 6371000     		dr = 193.487269999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46848732--0.46843938) × cos(0.88469864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.633522699748411 × 6371000     		do = 193.49413937733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46848732--0.46843938) × cos(0.88466827) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.633546197457282 × 6371000     		du = 193.501316182449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88469864)-sin(0.88466827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633522699748411-0.633546197457282)×R²
    abs(-0.46843938--0.46848732)×2.34977088701127e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34977088701127e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34977088701127e-05×40589641000000     		ar = 37439.347102105m²