Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55759 / 12947
↖ ↑ ↗
← N 80.808559°
W 26.853333°		 ← 48.79 m → N 80.808559°
W 26.850586°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.808120°
W 26.853333°		 ← 48.79 m →
2 381 m²		 N 80.808120°
W 26.850586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425411224365234 y=0.0987815856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425411224365234 × 217)
    floor (0.425411224365234 × 131072)
    floor (55759.5)     		tx = 55759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987815856933594 × 217)
    floor (0.0987815856933594 × 131072)
    floor (12947.5)     		ty = 12947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55759 / 12947 ti = "17/55759/12947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55759/12947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55759 ÷ 217
    55759 ÷ 131072     		x = 0.425407409667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12947 ÷ 217
    12947 ÷ 131072     		y = 0.0987777709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425407409667969 × 2 - 1) × π
    -0.149185180664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.46867907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0987777709960938 × 2 - 1) × π
    0.802444458007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.52095361411913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46867907} λ = -0.46867907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52095361411913))-π/2
    2×atan(12.4404544017916)-π/2
    2×1.49058587185415-π/2
    2.9811717437083-1.57079632675     		φ = 1.41037542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46867907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.853333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41037542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.808559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55759 KachelY 12947 -0.46867907 1.41037542 -26.853333 80.808559
    Oben rechts KachelX + 1 55760 KachelY 12947 -0.46863113 1.41037542 -26.850586 80.808559
    Unten links KachelX 55759 KachelY + 1 12948 -0.46867907 1.41036776 -26.853333 80.808120
    Unten rechts KachelX + 1 55760 KachelY + 1 12948 -0.46863113 1.41036776 -26.850586 80.808120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41037542-1.41036776) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dl = 48.8018600004838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41037542-1.41036776) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dr = 48.8018600004838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46867907--0.46863113) × cos(1.41037542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159733723161049 × 6371000     		do = 48.7867905993864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46867907--0.46863113) × cos(1.41036776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159741284803018 × 6371000     		du = 48.7891001194805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41037542)-sin(1.41036776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159733723161049-0.159741284803018)×R²
    abs(-0.46863113--0.46867907)×7.56164196941134e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.56164196941134e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.56164196941134e-06×40589641000000     		ar = 2380.94247923753m²