Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55754 / 44055
↖ ↑ ↗
← N 50.696457°
W 26.867065°		 ← 193.43 m → N 50.696457°
W 26.864319°		 →
↑
193.42 m
↓
↑
193.42 m
↓
N 50.694718°
W 26.867065°		 ← 193.43 m →
37 414 m²		 N 50.694718°
W 26.864319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425373077392578 y=0.336116790771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425373077392578 × 217)
    floor (0.425373077392578 × 131072)
    floor (55754.5)     		tx = 55754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336116790771484 × 217)
    floor (0.336116790771484 × 131072)
    floor (44055.5)     		ty = 44055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55754 / 44055 ti = "17/55754/44055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55754/44055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55754 ÷ 217
    55754 ÷ 131072     		x = 0.425369262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44055 ÷ 217
    44055 ÷ 131072     		y = 0.336112976074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425369262695312 × 2 - 1) × π
    -0.149261474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46891875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336112976074219 × 2 - 1) × π
    0.327774047851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.02973254073843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46891875} λ = -0.46891875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02973254073843))-π/2
    2×atan(2.80031676387674)-π/2
    2×1.22780821579705-π/2
    2.45561643159411-1.57079632675     		φ = 0.88482010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46891875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.867065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88482010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.696457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55754 KachelY 44055 -0.46891875 0.88482010 -26.867065 50.696457
    Oben rechts KachelX + 1 55755 KachelY 44055 -0.46887082 0.88482010 -26.864319 50.696457
    Unten links KachelX 55754 KachelY + 1 44056 -0.46891875 0.88478974 -26.867065 50.694718
    Unten rechts KachelX + 1 55755 KachelY + 1 44056 -0.46887082 0.88478974 -26.864319 50.694718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88482010-0.88478974) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dl = 193.423560000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88482010-0.88478974) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dr = 193.423560000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46891875--0.46887082) × cos(0.88482010) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.633428718545955 × 6371000     		do = 193.425079355386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46891875--0.46887082) × cos(0.88478974) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.633452210853778 × 6371000     		du = 193.432253014192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88482010)-sin(0.88478974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633428718545955-0.633452210853778)×R²
    abs(-0.46887082--0.46891875)×2.34923078227256e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34923078227256e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34923078227256e-05×40589641000000     		ar = 37413.6612224538m²