Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55754 / 12968
↖ ↑ ↗
← N 80.799341°
W 26.867065°		 ← 48.83 m → N 80.799341°
W 26.864319°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
N 80.798902°
W 26.867065°		 ← 48.83 m →
2 386 m²		 N 80.798902°
W 26.864319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425373077392578 y=0.0989418029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425373077392578 × 217)
    floor (0.425373077392578 × 131072)
    floor (55754.5)     		tx = 55754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0989418029785156 × 217)
    floor (0.0989418029785156 × 131072)
    floor (12968.5)     		ty = 12968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55754 / 12968 ti = "17/55754/12968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55754/12968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55754 ÷ 217
    55754 ÷ 131072     		x = 0.425369262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12968 ÷ 217
    12968 ÷ 131072     		y = 0.09893798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425369262695312 × 2 - 1) × π
    -0.149261474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46891875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09893798828125 × 2 - 1) × π
    0.8021240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51994693922711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46891875} λ = -0.46891875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51994693922711))-π/2
    2×atan(12.4279372101284)-π/2
    2×1.49050543192677-π/2
    2.98101086385353-1.57079632675     		φ = 1.41021454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46891875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.867065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41021454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.799341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55754 KachelY 12968 -0.46891875 1.41021454 -26.867065 80.799341
    Oben rechts KachelX + 1 55755 KachelY 12968 -0.46887082 1.41021454 -26.864319 80.799341
    Unten links KachelX 55754 KachelY + 1 12969 -0.46891875 1.41020687 -26.867065 80.798902
    Unten rechts KachelX + 1 55755 KachelY + 1 12969 -0.46887082 1.41020687 -26.864319 80.798902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41021454-1.41020687) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41021454-1.41020687) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46891875--0.46887082) × cos(1.41021454) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.159892535416191 × 6371000     		do = 48.8251091965083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46891875--0.46887082) × cos(1.41020687) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.159900106732543 × 6371000     		du = 48.8274211890394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41021454)-sin(1.41020687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159892535416191-0.159900106732543)×R²
    abs(-0.46887082--0.46891875)×7.57131635248376e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.57131635248376e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.57131635248376e-06×40589641000000     		ar = 2385.92327978682m²