Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55752 / 12969
↖ ↑ ↗
← N 80.798902°
W 26.872559°		 ← 48.84 m → N 80.798902°
W 26.869812°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.798463°
W 26.872559°		 ← 48.84 m →
2 383 m²		 N 80.798463°
W 26.869812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425357818603516 y=0.0989494323730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425357818603516 × 217)
    floor (0.425357818603516 × 131072)
    floor (55752.5)     		tx = 55752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0989494323730469 × 217)
    floor (0.0989494323730469 × 131072)
    floor (12969.5)     		ty = 12969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55752 / 12969 ti = "17/55752/12969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55752/12969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55752 ÷ 217
    55752 ÷ 131072     		x = 0.42535400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12969 ÷ 217
    12969 ÷ 131072     		y = 0.0989456176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42535400390625 × 2 - 1) × π
    -0.1492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46901463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0989456176757812 × 2 - 1) × π
    0.802108764648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.51989900232749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46901463} λ = -0.46901463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51989900232749))-π/2
    2×atan(12.427341467629)-π/2
    2×1.49050159945981-π/2
    2.98100319891962-1.57079632675     		φ = 1.41020687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46901463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.872559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41020687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.798902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55752 KachelY 12969 -0.46901463 1.41020687 -26.872559 80.798902
    Oben rechts KachelX + 1 55753 KachelY 12969 -0.46896669 1.41020687 -26.869812 80.798902
    Unten links KachelX 55752 KachelY + 1 12970 -0.46901463 1.41019921 -26.872559 80.798463
    Unten rechts KachelX + 1 55753 KachelY + 1 12970 -0.46896669 1.41019921 -26.869812 80.798463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41020687-1.41019921) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dl = 48.8018599990692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41020687-1.41019921) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dr = 48.8018599990692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46901463--0.46896669) × cos(1.41020687) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159900106732543 × 6371000     		do = 48.837608424834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46901463--0.46896669) × cos(1.41019921) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159907668168169 × 6371000     		du = 48.8399178819055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41020687)-sin(1.41019921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159900106732543-0.159907668168169)×R²
    abs(-0.46896669--0.46901463)×7.56143562580247e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.56143562580247e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.56143562580247e-06×40589641000000     		ar = 2383.42248194341m²