Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55750 / 44086
↖ ↑ ↗
← N 50.642494°
W 26.878052°		 ← 193.69 m → N 50.642494°
W 26.875305°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
N 50.640752°
W 26.878052°		 ← 193.70 m →
37 514 m²		 N 50.640752°
W 26.875305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425342559814453 y=0.336353302001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425342559814453 × 217)
    floor (0.425342559814453 × 131072)
    floor (55750.5)     		tx = 55750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336353302001953 × 217)
    floor (0.336353302001953 × 131072)
    floor (44086.5)     		ty = 44086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55750 / 44086 ti = "17/55750/44086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55750/44086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55750 ÷ 217
    55750 ÷ 131072     		x = 0.425338745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44086 ÷ 217
    44086 ÷ 131072     		y = 0.336349487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425338745117188 × 2 - 1) × π
    -0.149322509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46911050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336349487304688 × 2 - 1) × π
    0.327301025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0282464968502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46911050} λ = -0.46911050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0282464968502))-π/2
    2×atan(2.79615846074042)-π/2
    2×1.22733729372617-π/2
    2.45467458745234-1.57079632675     		φ = 0.88387826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46911050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.878052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88387826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.642494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55750 KachelY 44086 -0.46911050 0.88387826 -26.878052 50.642494
    Oben rechts KachelX + 1 55751 KachelY 44086 -0.46906256 0.88387826 -26.875305 50.642494
    Unten links KachelX 55750 KachelY + 1 44087 -0.46911050 0.88384786 -26.878052 50.640752
    Unten rechts KachelX + 1 55751 KachelY + 1 44087 -0.46906256 0.88384786 -26.875305 50.640752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88387826-0.88384786) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88387826-0.88384786) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46911050--0.46906256) × cos(0.88387826) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63415723426977 × 6371000     		do = 193.687942553071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46911050--0.46906256) × cos(0.88384786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634180739381807 × 6371000     		du = 193.695121619308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88387826)-sin(0.88384786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63415723426977-0.634180739381807)×R²
    abs(-0.46906256--0.46911050)×2.3505112036859e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3505112036859e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3505112036859e-05×40589641000000     		ar = 37513.8660308709m²