Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55745 / 14653
↖ ↑ ↗
← N 80.029082°
W 26.891784°		 ← 52.87 m → N 80.029082°
W 26.889038°		 →
↑
52.88 m
↓
↑
52.88 m
↓
N 80.028606°
W 26.891784°		 ← 52.88 m →
2 796 m²		 N 80.028606°
W 26.889038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425304412841797 y=0.111797332763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425304412841797 × 217)
    floor (0.425304412841797 × 131072)
    floor (55745.5)     		tx = 55745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111797332763672 × 217)
    floor (0.111797332763672 × 131072)
    floor (14653.5)     		ty = 14653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55745 / 14653 ti = "17/55745/14653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55745/14653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55745 ÷ 217
    55745 ÷ 131072     		x = 0.425300598144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14653 ÷ 217
    14653 ÷ 131072     		y = 0.111793518066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425300598144531 × 2 - 1) × π
    -0.149398803710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.46935018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111793518066406 × 2 - 1) × π
    0.776412963867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.43917326336732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46935018} λ = -0.46935018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43917326336732))-π/2
    2×atan(11.4635594795184)-π/2
    2×1.48378365051948-π/2
    2.96756730103896-1.57079632675     		φ = 1.39677097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46935018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.891784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39677097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.029082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55745 KachelY 14653 -0.46935018 1.39677097 -26.891784 80.029082
    Oben rechts KachelX + 1 55746 KachelY 14653 -0.46930225 1.39677097 -26.889038 80.029082
    Unten links KachelX 55745 KachelY + 1 14654 -0.46935018 1.39676267 -26.891784 80.028606
    Unten rechts KachelX + 1 55746 KachelY + 1 14654 -0.46930225 1.39676267 -26.889038 80.028606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39677097-1.39676267) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dl = 52.8792999997523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39677097-1.39676267) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dr = 52.8792999997523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46935018--0.46930225) × cos(1.39677097) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173148298020307 × 6371000     		do = 52.8729157745582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46935018--0.46930225) × cos(1.39676267) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173156472649188 × 6371000     		du = 52.8754119958278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39677097)-sin(1.39676267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173148298020307-0.173156472649188)×R²
    abs(-0.46930225--0.46935018)×8.174628880947e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.174628880947e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.174628880947e-06×40589641000000     		ar = 2795.94877433575m²