Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55736 / 17352
↖ ↑ ↗
← N 78.660288°
W 26.916504°		 ← 60.05 m → N 78.660288°
W 26.913757°		 →
↑
60.08 m
↓
↑
60.08 m
↓
N 78.659748°
W 26.916504°		 ← 60.06 m →
3 608 m²		 N 78.659748°
W 26.913757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425235748291016 y=0.132389068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425235748291016 × 217)
    floor (0.425235748291016 × 131072)
    floor (55736.5)     		tx = 55736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132389068603516 × 217)
    floor (0.132389068603516 × 131072)
    floor (17352.5)     		ty = 17352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55736 / 17352 ti = "17/55736/17352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55736/17352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55736 ÷ 217
    55736 ÷ 131072     		x = 0.42523193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17352 ÷ 217
    17352 ÷ 131072     		y = 0.13238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42523193359375 × 2 - 1) × π
    -0.1495361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46978162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13238525390625 × 2 - 1) × π
    0.7352294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30979157129279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46978162} λ = -0.46978162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30979157129279))-π/2
    2×atan(10.0723250745208)-π/2
    2×1.47183867264289-π/2
    2.94367734528579-1.57079632675     		φ = 1.37288102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46978162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.916504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37288102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.660288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55736 KachelY 17352 -0.46978162 1.37288102 -26.916504 78.660288
    Oben rechts KachelX + 1 55737 KachelY 17352 -0.46973368 1.37288102 -26.913757 78.660288
    Unten links KachelX 55736 KachelY + 1 17353 -0.46978162 1.37287159 -26.916504 78.659748
    Unten rechts KachelX + 1 55737 KachelY + 1 17353 -0.46973368 1.37287159 -26.913757 78.659748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37288102-1.37287159) × R
    9.42999999997696e-06 × 6371000     		dl = 60.0785299998532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37288102-1.37287159) × R
    9.42999999997696e-06 × 6371000     		dr = 60.0785299998532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46978162--0.46973368) × cos(1.37288102) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.19662576243667 × 6371000     		do = 60.0545689953141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46978162--0.46973368) × cos(1.37287159) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.196635008341243 × 6371000     		du = 60.0573929325604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37288102)-sin(1.37287159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19662576243667-0.196635008341243)×R²
    abs(-0.46973368--0.46978162)×9.24590457315744e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.24590457315744e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.24590457315744e-06×40589641000000     		ar = 3608.07505407976m²