Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55733 / 13139
↖ ↑ ↗
← N 80.723941°
W 26.924744°		 ← 49.23 m → N 80.723941°
W 26.921997°		 →
↑
49.25 m
↓
↑
49.25 m
↓
N 80.723498°
W 26.924744°		 ← 49.23 m →
2 425 m²		 N 80.723498°
W 26.921997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425212860107422 y=0.100246429443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425212860107422 × 217)
    floor (0.425212860107422 × 131072)
    floor (55733.5)     		tx = 55733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100246429443359 × 217)
    floor (0.100246429443359 × 131072)
    floor (13139.5)     		ty = 13139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55733 / 13139 ti = "17/55733/13139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55733/13139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55733 ÷ 217
    55733 ÷ 131072     		x = 0.425209045410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13139 ÷ 217
    13139 ÷ 131072     		y = 0.100242614746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425209045410156 × 2 - 1) × π
    -0.149581909179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.46992543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100242614746094 × 2 - 1) × π
    0.799514770507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.51174972939208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46992543} λ = -0.46992543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51174972939208))-π/2
    2×atan(12.3264792053931)-π/2
    2×1.48984743719819-π/2
    2.97969487439638-1.57079632675     		φ = 1.40889855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46992543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.924744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40889855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.723941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55733 KachelY 13139 -0.46992543 1.40889855 -26.924744 80.723941
    Oben rechts KachelX + 1 55734 KachelY 13139 -0.46987749 1.40889855 -26.921997 80.723941
    Unten links KachelX 55733 KachelY + 1 13140 -0.46992543 1.40889082 -26.924744 80.723498
    Unten rechts KachelX + 1 55734 KachelY + 1 13140 -0.46987749 1.40889082 -26.921997 80.723498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40889855-1.40889082) × R
    7.72999999987256e-06 × 6371000     		dl = 49.2478299991881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40889855-1.40889082) × R
    7.72999999987256e-06 × 6371000     		dr = 49.2478299991881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46992543--0.46987749) × cos(1.40889855) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161191455622621 × 6371000     		do = 49.2320196151838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46992543--0.46987749) × cos(1.40889082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161199084533796 × 6371000     		du = 49.2343496810249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40889855)-sin(1.40889082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161191455622621-0.161199084533796)×R²
    abs(-0.46987749--0.46992543)×7.62891117508935e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.62891117508935e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.62891117508935e-06×40589641000000     		ar = 2424.62750776364m²