Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55732 / 17364
↖ ↑ ↗
← N 78.653806°
W 26.927490°		 ← 60.08 m → N 78.653806°
W 26.924744°		 →
↑
60.08 m
↓
↑
60.08 m
↓
N 78.653265°
W 26.927490°		 ← 60.08 m →
3 609 m²		 N 78.653265°
W 26.924744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425205230712891 y=0.132480621337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425205230712891 × 217)
    floor (0.425205230712891 × 131072)
    floor (55732.5)     		tx = 55732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132480621337891 × 217)
    floor (0.132480621337891 × 131072)
    floor (17364.5)     		ty = 17364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55732 / 17364 ti = "17/55732/17364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55732/17364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55732 ÷ 217
    55732 ÷ 131072     		x = 0.425201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17364 ÷ 217
    17364 ÷ 131072     		y = 0.132476806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425201416015625 × 2 - 1) × π
    -0.14959716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46997336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132476806640625 × 2 - 1) × π
    0.73504638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30921632849735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46997336} λ = -0.46997336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30921632849735))-π/2
    2×atan(10.0665327082566)-π/2
    2×1.47178210291443-π/2
    2.94356420582886-1.57079632675     		φ = 1.37276788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46997336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.927490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37276788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.653806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55732 KachelY 17364 -0.46997336 1.37276788 -26.927490 78.653806
    Oben rechts KachelX + 1 55733 KachelY 17364 -0.46992543 1.37276788 -26.924744 78.653806
    Unten links KachelX 55732 KachelY + 1 17365 -0.46997336 1.37275845 -26.927490 78.653265
    Unten rechts KachelX + 1 55733 KachelY + 1 17365 -0.46992543 1.37275845 -26.924744 78.653265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37276788-1.37275845) × R
    9.42999999997696e-06 × 6371000     		dl = 60.0785299998532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37276788-1.37275845) × R
    9.42999999997696e-06 × 6371000     		dr = 60.0785299998532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46997336--0.46992543) × cos(1.37276788) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.19673669252818 × 6371000     		do = 60.0759158059276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46997336--0.46992543) × cos(1.37275845) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.196745938222907 × 6371000     		du = 60.0787390900382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37276788)-sin(1.37275845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19673669252818-0.196745938222907)×R²
    abs(-0.46992543--0.46997336)×9.24569472701697e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.24569472701697e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.24569472701697e-06×40589641000000     		ar = 3609.35751927085m²