Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55731 / 13111
↖ ↑ ↗
← N 80.736329°
W 26.930237°		 ← 49.17 m → N 80.736329°
W 26.927490°		 →
↑
49.18 m
↓
↑
49.18 m
↓
N 80.735886°
W 26.930237°		 ← 49.17 m →
2 418 m²		 N 80.735886°
W 26.927490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425197601318359 y=0.100032806396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425197601318359 × 217)
    floor (0.425197601318359 × 131072)
    floor (55731.5)     		tx = 55731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100032806396484 × 217)
    floor (0.100032806396484 × 131072)
    floor (13111.5)     		ty = 13111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55731 / 13111 ti = "17/55731/13111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55731/13111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55731 ÷ 217
    55731 ÷ 131072     		x = 0.425193786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13111 ÷ 217
    13111 ÷ 131072     		y = 0.100028991699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425193786621094 × 2 - 1) × π
    -0.149612426757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.47002130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100028991699219 × 2 - 1) × π
    0.799942016601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.51309196258144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47002130} λ = -0.47002130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51309196258144))-π/2
    2×atan(12.3430353234905)-π/2
    2×1.48995554384051-π/2
    2.97991108768101-1.57079632675     		φ = 1.40911476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47002130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.930237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40911476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.736329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55731 KachelY 13111 -0.47002130 1.40911476 -26.930237 80.736329
    Oben rechts KachelX + 1 55732 KachelY 13111 -0.46997336 1.40911476 -26.927490 80.736329
    Unten links KachelX 55731 KachelY + 1 13112 -0.47002130 1.40910704 -26.930237 80.735886
    Unten rechts KachelX + 1 55732 KachelY + 1 13112 -0.46997336 1.40910704 -26.927490 80.735886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40911476-1.40910704) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dl = 49.1841199995753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40911476-1.40910704) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dr = 49.1841199995753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47002130--0.46997336) × cos(1.40911476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160978069201268 × 6371000     		do = 49.1668459095363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47002130--0.46997336) × cos(1.40910704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160985688512104 × 6371000     		du = 49.1691730431865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40911476)-sin(1.40910704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160978069201268-0.160985688512104)×R²
    abs(-0.46997336--0.47002130)×7.61931083562151e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.61931083562151e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.61931083562151e-06×40589641000000     		ar = 2418.28527834936m²