Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55729 / 15665
↖ ↑ ↗
← N 79.536132°
W 26.935730°		 ← 55.46 m → N 79.536132°
W 26.932984°		 →
↑
55.43 m
↓
↑
55.43 m
↓
N 79.535634°
W 26.935730°		 ← 55.46 m →
3 074 m²		 N 79.535634°
W 26.932984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425182342529297 y=0.119518280029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425182342529297 × 217)
    floor (0.425182342529297 × 131072)
    floor (55729.5)     		tx = 55729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119518280029297 × 217)
    floor (0.119518280029297 × 131072)
    floor (15665.5)     		ty = 15665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55729 / 15665 ti = "17/55729/15665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55729/15665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55729 ÷ 217
    55729 ÷ 131072     		x = 0.425178527832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15665 ÷ 217
    15665 ÷ 131072     		y = 0.119514465332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425178527832031 × 2 - 1) × π
    -0.149642944335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.47011717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119514465332031 × 2 - 1) × π
    0.760971069335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.39066112095182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47011717} λ = -0.47011717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39066112095182))-π/2
    2×atan(10.9207114681109)-π/2
    2×1.47948185407829-π/2
    2.95896370815659-1.57079632675     		φ = 1.38816738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47011717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.935730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38816738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.536132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55729 KachelY 15665 -0.47011717 1.38816738 -26.935730 79.536132
    Oben rechts KachelX + 1 55730 KachelY 15665 -0.47006924 1.38816738 -26.932984 79.536132
    Unten links KachelX 55729 KachelY + 1 15666 -0.47011717 1.38815868 -26.935730 79.535634
    Unten rechts KachelX + 1 55730 KachelY + 1 15666 -0.47006924 1.38815868 -26.932984 79.535634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38816738-1.38815868) × R
    8.69999999997262e-06 × 6371000     		dl = 55.4276999998255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38816738-1.38815868) × R
    8.69999999997262e-06 × 6371000     		dr = 55.4276999998255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47011717--0.47006924) × cos(1.38816738) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.181615424500647 × 6371000     		do = 55.4584547047989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47011717--0.47006924) × cos(1.38815868) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.181623979809591 × 6371000     		du = 55.4610671713055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38816738)-sin(1.38815868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181615424500647-0.181623979809591)×R²
    abs(-0.47006924--0.47011717)×8.55530894469658e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.55530894469658e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.55530894469658e-06×40589641000000     		ar = 3074.00699127881m²