Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55728 / 15666
↖ ↑ ↗
← N 79.535634°
W 26.938476°		 ← 55.47 m → N 79.535634°
W 26.935730°		 →
↑
55.49 m
↓
↑
55.49 m
↓
N 79.535135°
W 26.938476°		 ← 55.48 m →
3 078 m²		 N 79.535135°
W 26.935730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425174713134766 y=0.119525909423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425174713134766 × 217)
    floor (0.425174713134766 × 131072)
    floor (55728.5)     		tx = 55728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119525909423828 × 217)
    floor (0.119525909423828 × 131072)
    floor (15666.5)     		ty = 15666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55728 / 15666 ti = "17/55728/15666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55728/15666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55728 ÷ 217
    55728 ÷ 131072     		x = 0.4251708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15666 ÷ 217
    15666 ÷ 131072     		y = 0.119522094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4251708984375 × 2 - 1) × π
    -0.149658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47016511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119522094726562 × 2 - 1) × π
    0.760955810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3906131840522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47016511} λ = -0.47016511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3906131840522))-π/2
    2×atan(10.9201879756089)-π/2
    2×1.47947750093554-π/2
    2.95895500187108-1.57079632675     		φ = 1.38815868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47016511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.938476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38815868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.535634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55728 KachelY 15666 -0.47016511 1.38815868 -26.938476 79.535634
    Oben rechts KachelX + 1 55729 KachelY 15666 -0.47011717 1.38815868 -26.935730 79.535634
    Unten links KachelX 55728 KachelY + 1 15667 -0.47016511 1.38814997 -26.938476 79.535135
    Unten rechts KachelX + 1 55729 KachelY + 1 15667 -0.47011717 1.38814997 -26.935730 79.535135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38815868-1.38814997) × R
    8.71000000013389e-06 × 6371000     		dl = 55.491410000853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38815868-1.38814997) × R
    8.71000000013389e-06 × 6371000     		dr = 55.491410000853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47016511--0.47011717) × cos(1.38815868) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.181623979809591 × 6371000     		do = 55.4726384351173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47016511--0.47011717) × cos(1.38814997) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.181632544938454 × 6371000     		du = 55.4752544459383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38815868)-sin(1.38814997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181623979809591-0.181632544938454)×R²
    abs(-0.47011717--0.47016511)×8.56512886243666e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.56512886243666e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.56512886243666e-06×40589641000000     		ar = 3078.32750622708m²