Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55725 / 18097
↖ ↑ ↗
← N 78.250829°
W 26.946716°		 ← 62.18 m → N 78.250829°
W 26.943970°		 →
↑
62.24 m
↓
↑
62.24 m
↓
N 78.250269°
W 26.946716°		 ← 62.18 m →
3 870 m²		 N 78.250269°
W 26.943970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425151824951172 y=0.138072967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425151824951172 × 217)
    floor (0.425151824951172 × 131072)
    floor (55725.5)     		tx = 55725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138072967529297 × 217)
    floor (0.138072967529297 × 131072)
    floor (18097.5)     		ty = 18097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55725 / 18097 ti = "17/55725/18097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55725/18097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55725 ÷ 217
    55725 ÷ 131072     		x = 0.425148010253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18097 ÷ 217
    18097 ÷ 131072     		y = 0.138069152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425148010253906 × 2 - 1) × π
    -0.149703979492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.47030892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138069152832031 × 2 - 1) × π
    0.723861694335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.27407858107584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47030892} λ = -0.47030892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27407858107584))-π/2
    2×atan(9.71895965218503)-π/2
    2×1.4682654608889-π/2
    2.9365309217778-1.57079632675     		φ = 1.36573460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47030892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.946716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36573460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.250829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55725 KachelY 18097 -0.47030892 1.36573460 -26.946716 78.250829
    Oben rechts KachelX + 1 55726 KachelY 18097 -0.47026099 1.36573460 -26.943970 78.250829
    Unten links KachelX 55725 KachelY + 1 18098 -0.47030892 1.36572483 -26.946716 78.250269
    Unten rechts KachelX + 1 55726 KachelY + 1 18098 -0.47026099 1.36572483 -26.943970 78.250269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36573460-1.36572483) × R
    9.76999999990902e-06 × 6371000     		dl = 62.2446699994204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36573460-1.36572483) × R
    9.76999999990902e-06 × 6371000     		dr = 62.2446699994204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47030892--0.47026099) × cos(1.36573460) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203627593813507 × 6371000     		do = 62.180135410946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47030892--0.47026099) × cos(1.36572483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203637159106823 × 6371000     		du = 62.1830562883306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36573460)-sin(1.36572483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203627593813507-0.203637159106823)×R²
    abs(-0.47026099--0.47030892)×9.56529331647138e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.56529331647138e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.56529331647138e-06×40589641000000     		ar = 3870.47291387494m²