Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55723 / 13097
↖ ↑ ↗
← N 80.742517°
W 26.952210°		 ← 49.13 m → N 80.742517°
W 26.949463°		 →
↑
49.12 m
↓
↑
49.12 m
↓
N 80.742075°
W 26.952210°		 ← 49.14 m →
2 414 m²		 N 80.742075°
W 26.949463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425136566162109 y=0.0999259948730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425136566162109 × 217)
    floor (0.425136566162109 × 131072)
    floor (55723.5)     		tx = 55723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0999259948730469 × 217)
    floor (0.0999259948730469 × 131072)
    floor (13097.5)     		ty = 13097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55723 / 13097 ti = "17/55723/13097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55723/13097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55723 ÷ 217
    55723 ÷ 131072     		x = 0.425132751464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13097 ÷ 217
    13097 ÷ 131072     		y = 0.0999221801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425132751464844 × 2 - 1) × π
    -0.149734497070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.47040480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0999221801757812 × 2 - 1) × π
    0.800155639648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.51376307917612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47040480} λ = -0.47040480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51376307917612))-π/2
    2×atan(12.3513217195828)-π/2
    2×1.49000954348124-π/2
    2.98001908696248-1.57079632675     		φ = 1.40922276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47040480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.952210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40922276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.742517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55723 KachelY 13097 -0.47040480 1.40922276 -26.952210 80.742517
    Oben rechts KachelX + 1 55724 KachelY 13097 -0.47035686 1.40922276 -26.949463 80.742517
    Unten links KachelX 55723 KachelY + 1 13098 -0.47040480 1.40921505 -26.952210 80.742075
    Unten rechts KachelX + 1 55724 KachelY + 1 13098 -0.47035686 1.40921505 -26.949463 80.742075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40922276-1.40921505) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dl = 49.1204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40922276-1.40921505) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dr = 49.1204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47040480--0.47035686) × cos(1.40922276) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.160871476800431 × 6371000     		do = 49.1342898466891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47040480--0.47035686) × cos(1.40921505) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.160879086375701 × 6371000     		du = 49.1366140068471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40922276)-sin(1.40921505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160871476800431-0.160879086375701)×R²
    abs(-0.47035686--0.47040480)×7.60957527029538e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.60957527029538e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.60957527029538e-06×40589641000000     		ar = 2413.55354425449m²