Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55721 / 13099
↖ ↑ ↗
← N 80.741633°
W 26.957703°		 ← 49.14 m → N 80.741633°
W 26.954956°		 →
↑
49.18 m
↓
↑
49.18 m
↓
N 80.741191°
W 26.957703°		 ← 49.14 m →
2 417 m²		 N 80.741191°
W 26.954956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425121307373047 y=0.0999412536621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425121307373047 × 217)
    floor (0.425121307373047 × 131072)
    floor (55721.5)     		tx = 55721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0999412536621094 × 217)
    floor (0.0999412536621094 × 131072)
    floor (13099.5)     		ty = 13099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55721 / 13099 ti = "17/55721/13099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55721/13099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55721 ÷ 217
    55721 ÷ 131072     		x = 0.425117492675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13099 ÷ 217
    13099 ÷ 131072     		y = 0.0999374389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425117492675781 × 2 - 1) × π
    -0.149765014648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.47050067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0999374389648438 × 2 - 1) × π
    0.800125122070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.51366720537688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47050067} λ = -0.47050067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51366720537688))-π/2
    2×atan(12.3501376082074)-π/2
    2×1.49000183143654-π/2
    2.98000366287308-1.57079632675     		φ = 1.40920734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47050067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.957703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40920734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.741633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55721 KachelY 13099 -0.47050067 1.40920734 -26.957703 80.741633
    Oben rechts KachelX + 1 55722 KachelY 13099 -0.47045273 1.40920734 -26.954956 80.741633
    Unten links KachelX 55721 KachelY + 1 13100 -0.47050067 1.40919962 -26.957703 80.741191
    Unten rechts KachelX + 1 55722 KachelY + 1 13100 -0.47045273 1.40919962 -26.954956 80.741191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40920734-1.40919962) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dl = 49.1841199995753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40920734-1.40919962) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dr = 49.1841199995753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47050067--0.47045273) × cos(1.40920734) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.160886695941408 × 6371000     		do = 49.1389381640843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47050067--0.47045273) × cos(1.40919962) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.160894315367268 × 6371000     		du = 49.1412653328658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40920734)-sin(1.40919962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160886695941408-0.160894315367268)×R²
    abs(-0.47045273--0.47050067)×7.61942585955633e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.61942585955633e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.61942585955633e-06×40589641000000     		ar = 2416.91266119574m²