Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55716 / 15556
↖ ↑ ↗
← N 79.590364°
W 26.971435°		 ← 55.17 m → N 79.590364°
W 26.968689°		 →
↑
55.17 m
↓
↑
55.17 m
↓
N 79.589868°
W 26.971435°		 ← 55.18 m →
3 044 m²		 N 79.589868°
W 26.968689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425083160400391 y=0.118686676025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425083160400391 × 217)
    floor (0.425083160400391 × 131072)
    floor (55716.5)     		tx = 55716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118686676025391 × 217)
    floor (0.118686676025391 × 131072)
    floor (15556.5)     		ty = 15556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55716 / 15556 ti = "17/55716/15556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55716/15556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55716 ÷ 217
    55716 ÷ 131072     		x = 0.425079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15556 ÷ 217
    15556 ÷ 131072     		y = 0.118682861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425079345703125 × 2 - 1) × π
    -0.14984130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47074035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118682861328125 × 2 - 1) × π
    0.76263427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39588624301041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47074035} λ = -0.47074035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39588624301041))-π/2
    2×atan(10.9779228565774)-π/2
    2×1.47995511847319-π/2
    2.95991023694639-1.57079632675     		φ = 1.38911391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47074035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.971435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38911391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.590364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55716 KachelY 15556 -0.47074035 1.38911391 -26.971435 79.590364
    Oben rechts KachelX + 1 55717 KachelY 15556 -0.47069242 1.38911391 -26.968689 79.590364
    Unten links KachelX 55716 KachelY + 1 15557 -0.47074035 1.38910525 -26.971435 79.589868
    Unten rechts KachelX + 1 55717 KachelY + 1 15557 -0.47069242 1.38910525 -26.968689 79.589868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38911391-1.38910525) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dl = 55.1728599999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38911391-1.38910525) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dr = 55.1728599999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47074035--0.47069242) × cos(1.38911391) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.180684554423364 × 6371000     		do = 55.1742023283337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47074035--0.47069242) × cos(1.38910525) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.180693071882499 × 6371000     		du = 55.1768032369456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38911391)-sin(1.38910525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180684554423364-0.180693071882499)×R²
    abs(-0.47069242--0.47074035)×8.51745913479918e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.51745913479918e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.51745913479918e-06×40589641000000     		ar = 3044.19029048602m²