Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55716 / 12964
↖ ↑ ↗
← N 80.801097°
W 26.971435°		 ← 48.82 m → N 80.801097°
W 26.968689°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.800659°
W 26.971435°		 ← 48.82 m →
2 382 m²		 N 80.800659°
W 26.968689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425083160400391 y=0.0989112854003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425083160400391 × 217)
    floor (0.425083160400391 × 131072)
    floor (55716.5)     		tx = 55716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0989112854003906 × 217)
    floor (0.0989112854003906 × 131072)
    floor (12964.5)     		ty = 12964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55716 / 12964 ti = "17/55716/12964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55716/12964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55716 ÷ 217
    55716 ÷ 131072     		x = 0.425079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12964 ÷ 217
    12964 ÷ 131072     		y = 0.098907470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425079345703125 × 2 - 1) × π
    -0.14984130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47074035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098907470703125 × 2 - 1) × π
    0.80218505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52013868682559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47074035} λ = -0.47074035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52013868682559))-π/2
    2×atan(12.4303204657269)-π/2
    2×1.49052075998118-π/2
    2.98104151996237-1.57079632675     		φ = 1.41024519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47074035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.971435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41024519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.801097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55716 KachelY 12964 -0.47074035 1.41024519 -26.971435 80.801097
    Oben rechts KachelX + 1 55717 KachelY 12964 -0.47069242 1.41024519 -26.968689 80.801097
    Unten links KachelX 55716 KachelY + 1 12965 -0.47074035 1.41023753 -26.971435 80.800659
    Unten rechts KachelX + 1 55717 KachelY + 1 12965 -0.47069242 1.41023753 -26.968689 80.800659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41024519-1.41023753) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dl = 48.8018599990692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41024519-1.41023753) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dr = 48.8018599990692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47074035--0.47069242) × cos(1.41024519) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.159862279670902 × 6371000     		do = 48.8158702407078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47074035--0.47069242) × cos(1.41023753) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.159869841153459 × 6371000     		du = 48.8181792303712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41024519)-sin(1.41023753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159862279670902-0.159869841153459)×R²
    abs(-0.47069242--0.47074035)×7.56148255703915e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.56148255703915e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.56148255703915e-06×40589641000000     		ar = 2382.36160672691m²