Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55716 / 12962
↖ ↑ ↗
← N 80.801976°
W 26.971435°		 ← 48.81 m → N 80.801976°
W 26.968689°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.801537°
W 26.971435°		 ← 48.81 m →
2 382 m²		 N 80.801537°
W 26.968689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425083160400391 y=0.0988960266113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425083160400391 × 217)
    floor (0.425083160400391 × 131072)
    floor (55716.5)     		tx = 55716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988960266113281 × 217)
    floor (0.0988960266113281 × 131072)
    floor (12962.5)     		ty = 12962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55716 / 12962 ti = "17/55716/12962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55716/12962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55716 ÷ 217
    55716 ÷ 131072     		x = 0.425079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12962 ÷ 217
    12962 ÷ 131072     		y = 0.0988922119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425079345703125 × 2 - 1) × π
    -0.14984130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47074035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0988922119140625 × 2 - 1) × π
    0.802215576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52023456062483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47074035} λ = -0.47074035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52023456062483))-π/2
    2×atan(12.431512264906)-π/2
    2×1.49052842292047-π/2
    2.98105684584094-1.57079632675     		φ = 1.41026052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47074035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.971435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41026052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.801976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55716 KachelY 12962 -0.47074035 1.41026052 -26.971435 80.801976
    Oben rechts KachelX + 1 55717 KachelY 12962 -0.47069242 1.41026052 -26.968689 80.801976
    Unten links KachelX 55716 KachelY + 1 12963 -0.47074035 1.41025286 -26.971435 80.801537
    Unten rechts KachelX + 1 55717 KachelY + 1 12963 -0.47069242 1.41025286 -26.968689 80.801537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41026052-1.41025286) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dl = 48.8018600004838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41026052-1.41025286) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dr = 48.8018600004838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47074035--0.47069242) × cos(1.41026052) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.159847146806231 × 6371000     		do = 48.8112492384319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47074035--0.47069242) × cos(1.41025286) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.15985470830756 × 6371000     		du = 48.8135582338276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41026052)-sin(1.41025286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159847146806231-0.15985470830756)×R²
    abs(-0.47069242--0.47074035)×7.56150132907862e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.56150132907862e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.56150132907862e-06×40589641000000     		ar = 2382.13609348252m²