Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55715 / 17247
↖ ↑ ↗
← N 78.716853°
W 26.974182°		 ← 59.76 m → N 78.716853°
W 26.971435°		 →
↑
59.76 m
↓
↑
59.76 m
↓
N 78.716316°
W 26.974182°		 ← 59.76 m →
3 571 m²		 N 78.716316°
W 26.971435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425075531005859 y=0.131587982177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425075531005859 × 217)
    floor (0.425075531005859 × 131072)
    floor (55715.5)     		tx = 55715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131587982177734 × 217)
    floor (0.131587982177734 × 131072)
    floor (17247.5)     		ty = 17247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55715 / 17247 ti = "17/55715/17247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55715/17247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55715 ÷ 217
    55715 ÷ 131072     		x = 0.425071716308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17247 ÷ 217
    17247 ÷ 131072     		y = 0.131584167480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425071716308594 × 2 - 1) × π
    -0.149856567382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.47078829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131584167480469 × 2 - 1) × π
    0.736831665039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.31482494575289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47078829} λ = -0.47078829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31482494575289))-π/2
    2×atan(10.1231506631097)-π/2
    2×1.47233229905787-π/2
    2.94466459811575-1.57079632675     		φ = 1.37386827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47078829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.974182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37386827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.716853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55715 KachelY 17247 -0.47078829 1.37386827 -26.974182 78.716853
    Oben rechts KachelX + 1 55716 KachelY 17247 -0.47074035 1.37386827 -26.971435 78.716853
    Unten links KachelX 55715 KachelY + 1 17248 -0.47078829 1.37385889 -26.974182 78.716316
    Unten rechts KachelX + 1 55716 KachelY + 1 17248 -0.47074035 1.37385889 -26.971435 78.716316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37386827-1.37385889) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dl = 59.7599800003745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37386827-1.37385889) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dr = 59.7599800003745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47078829--0.47074035) × cos(1.37386827) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.195657689261856 × 6371000     		do = 59.7588945295223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47078829--0.47074035) × cos(1.37385889) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.195666887958985 × 6371000     		du = 59.7617040484002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37386827)-sin(1.37385889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195657689261856-0.195666887958985)×R²
    abs(-0.47074035--0.47078829)×9.19869712961985e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.19869712961985e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.19869712961985e-06×40589641000000     		ar = 3571.27429029536m²