Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55714 / 17246
↖ ↑ ↗
← N 78.717391°
W 26.976929°		 ← 59.76 m → N 78.717391°
W 26.974182°		 →
↑
59.76 m
↓
↑
59.76 m
↓
N 78.716853°
W 26.976929°		 ← 59.76 m →
3 571 m²		 N 78.716853°
W 26.974182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425067901611328 y=0.131580352783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425067901611328 × 217)
    floor (0.425067901611328 × 131072)
    floor (55714.5)     		tx = 55714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131580352783203 × 217)
    floor (0.131580352783203 × 131072)
    floor (17246.5)     		ty = 17246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55714 / 17246 ti = "17/55714/17246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55714/17246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55714 ÷ 217
    55714 ÷ 131072     		x = 0.425064086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17246 ÷ 217
    17246 ÷ 131072     		y = 0.131576538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425064086914062 × 2 - 1) × π
    -0.149871826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47083623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131576538085938 × 2 - 1) × π
    0.736846923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31487288265251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47083623} λ = -0.47083623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31487288265251))-π/2
    2×atan(10.1236359471983)-π/2
    2×1.47233698855912-π/2
    2.94467397711824-1.57079632675     		φ = 1.37387765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47083623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.976929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37387765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.717391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55714 KachelY 17246 -0.47083623 1.37387765 -26.976929 78.717391
    Oben rechts KachelX + 1 55715 KachelY 17246 -0.47078829 1.37387765 -26.974182 78.717391
    Unten links KachelX 55714 KachelY + 1 17247 -0.47083623 1.37386827 -26.976929 78.716853
    Unten rechts KachelX + 1 55715 KachelY + 1 17247 -0.47078829 1.37386827 -26.974182 78.716853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37387765-1.37386827) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dl = 59.7599800003745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37387765-1.37386827) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dr = 59.7599800003745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47083623--0.47078829) × cos(1.37387765) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.195648490547511 × 6371000     		do = 59.7560850053866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47083623--0.47078829) × cos(1.37386827) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.195657689261856 × 6371000     		du = 59.7588945295223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37387765)-sin(1.37386827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195648490547511-0.195657689261856)×R²
    abs(-0.47078829--0.47083623)×9.19871434443276e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.19871434443276e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.19871434443276e-06×40589641000000     		ar = 3571.10639332855m²