Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55713 / 13025
↖ ↑ ↗
← N 80.774276°
W 26.979675°		 ← 48.96 m → N 80.774276°
W 26.976929°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
N 80.773835°
W 26.979675°		 ← 48.96 m →
2 399 m²		 N 80.773835°
W 26.976929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425060272216797 y=0.0993766784667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425060272216797 × 217)
    floor (0.425060272216797 × 131072)
    floor (55713.5)     		tx = 55713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0993766784667969 × 217)
    floor (0.0993766784667969 × 131072)
    floor (13025.5)     		ty = 13025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55713 / 13025 ti = "17/55713/13025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55713/13025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55713 ÷ 217
    55713 ÷ 131072     		x = 0.425056457519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13025 ÷ 217
    13025 ÷ 131072     		y = 0.0993728637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425056457519531 × 2 - 1) × π
    -0.149887084960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.47088416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0993728637695312 × 2 - 1) × π
    0.801254272460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.51721453594877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47088416} λ = -0.47088416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51721453594877))-π/2
    2×atan(12.3940254251874)-π/2
    2×1.49028669161982-π/2
    2.98057338323965-1.57079632675     		φ = 1.40977706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47088416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.979675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40977706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.774276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55713 KachelY 13025 -0.47088416 1.40977706 -26.979675 80.774276
    Oben rechts KachelX + 1 55714 KachelY 13025 -0.47083623 1.40977706 -26.976929 80.774276
    Unten links KachelX 55713 KachelY + 1 13026 -0.47088416 1.40976937 -26.979675 80.773835
    Unten rechts KachelX + 1 55714 KachelY + 1 13026 -0.47083623 1.40976937 -26.976929 80.773835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40977706-1.40976937) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dl = 48.9929899993222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40977706-1.40976937) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dr = 48.9929899993222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47088416--0.47083623) × cos(1.40977706) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.160324371670757 × 6371000     		do = 48.95697559183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47088416--0.47083623) × cos(1.40976937) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.16033196219112 × 6371000     		du = 48.9592934485369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40977706)-sin(1.40976937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160324371670757-0.16033196219112)×R²
    abs(-0.47083623--0.47088416)×7.59052036328201e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.59052036328201e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.59052036328201e-06×40589641000000     		ar = 2398.60539509788m²