Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55712 / 12960
↖ ↑ ↗
← N 80.802854°
W 26.982422°		 ← 48.82 m → N 80.802854°
W 26.979675°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.802415°
W 26.982422°		 ← 48.82 m →
2 382 m²		 N 80.802415°
W 26.979675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425052642822266 y=0.0988807678222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425052642822266 × 217)
    floor (0.425052642822266 × 131072)
    floor (55712.5)     		tx = 55712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988807678222656 × 217)
    floor (0.0988807678222656 × 131072)
    floor (12960.5)     		ty = 12960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55712 / 12960 ti = "17/55712/12960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55712/12960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55712 ÷ 217
    55712 ÷ 131072     		x = 0.425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12960 ÷ 217
    12960 ÷ 131072     		y = 0.098876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.14990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47093210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098876953125 × 2 - 1) × π
    0.80224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52033043442407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47093210} λ = -0.47093210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52033043442407))-π/2
    2×atan(12.4327041783529)-π/2
    2×1.49053608513456-π/2
    2.98107217026912-1.57079632675     		φ = 1.41027584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47093210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.982422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41027584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.802854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55712 KachelY 12960 -0.47093210 1.41027584 -26.982422 80.802854
    Oben rechts KachelX + 1 55713 KachelY 12960 -0.47088416 1.41027584 -26.979675 80.802854
    Unten links KachelX 55712 KachelY + 1 12961 -0.47093210 1.41026818 -26.982422 80.802415
    Unten rechts KachelX + 1 55713 KachelY + 1 12961 -0.47088416 1.41026818 -26.979675 80.802415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41027584-1.41026818) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dl = 48.8018599990692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41027584-1.41026818) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dr = 48.8018599990692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47093210--0.47088416) × cos(1.41027584) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.159832023775436 × 6371000     		do = 48.8168141373345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47093210--0.47088416) × cos(1.41026818) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.159839585295522 × 6371000     		du = 48.8191236202025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41027584)-sin(1.41026818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159832023775436-0.159839585295522)×R²
    abs(-0.47088416--0.47093210)×7.56152008665745e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.56152008665745e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.56152008665745e-06×40589641000000     		ar = 2382.40768259464m²