Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55710 / 13023
↖ ↑ ↗
← N 80.775156°
W 26.987915°		 ← 48.96 m → N 80.775156°
W 26.985169°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
N 80.774716°
W 26.987915°		 ← 48.96 m →
2 399 m²		 N 80.774716°
W 26.985169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425037384033203 y=0.0993614196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425037384033203 × 217)
    floor (0.425037384033203 × 131072)
    floor (55710.5)     		tx = 55710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0993614196777344 × 217)
    floor (0.0993614196777344 × 131072)
    floor (13023.5)     		ty = 13023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55710 / 13023 ti = "17/55710/13023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55710/13023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55710 ÷ 217
    55710 ÷ 131072     		x = 0.425033569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13023 ÷ 217
    13023 ÷ 131072     		y = 0.0993576049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425033569335938 × 2 - 1) × π
    -0.149932861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47102798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0993576049804688 × 2 - 1) × π
    0.801284790039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.51731040974801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47102798} λ = -0.47102798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51731040974801))-π/2
    2×atan(12.3952137444562)-π/2
    2×1.49029437670966-π/2
    2.98058875341933-1.57079632675     		φ = 1.40979243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47102798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.987915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40979243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.775156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55710 KachelY 13023 -0.47102798 1.40979243 -26.987915 80.775156
    Oben rechts KachelX + 1 55711 KachelY 13023 -0.47098004 1.40979243 -26.985169 80.775156
    Unten links KachelX 55710 KachelY + 1 13024 -0.47102798 1.40978474 -26.987915 80.774716
    Unten rechts KachelX + 1 55711 KachelY + 1 13024 -0.47098004 1.40978474 -26.985169 80.774716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40979243-1.40978474) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dl = 48.9929899993222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40979243-1.40978474) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dr = 48.9929899993222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47102798--0.47098004) × cos(1.40979243) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.160309200472256 × 6371000     		do = 48.9625561830717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47102798--0.47098004) × cos(1.40978474) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.160316791011568 × 6371000     		du = 48.9648745291582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40979243)-sin(1.40978474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160309200472256-0.160316791011568)×R²
    abs(-0.47098004--0.47102798)×7.59053931242981e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.59053931242981e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.59053931242981e-06×40589641000000     		ar = 2398.8788167001m²