Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5571 / 7371
↖ ↑ ↗
← N 69.858546°
W118.795166°		 ← 420.66 m → N 69.858546°
W118.784179°		 →
↑
420.68 m
↓
↑
420.68 m
↓
N 69.854762°
W118.795166°		 ← 420.73 m →
176 977 m²		 N 69.854762°
W118.784179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170028686523438 y=0.224960327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170028686523438 × 215)
    floor (0.170028686523438 × 32768)
    floor (5571.5)     		tx = 5571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224960327148438 × 215)
    floor (0.224960327148438 × 32768)
    floor (7371.5)     		ty = 7371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5571 / 7371 ti = "15/5571/7371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5571/7371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5571 ÷ 215
    5571 ÷ 32768     		x = 0.170013427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7371 ÷ 215
    7371 ÷ 32768     		y = 0.224945068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.170013427734375 × 2 - 1) × π
    -0.65997314453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.07336678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224945068359375 × 2 - 1) × π
    0.55010986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72822110510226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07336678} λ = -2.07336678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72822110510226))-π/2
    2×atan(5.6306286975127)-π/2
    2×1.39502897876991-π/2
    2.79005795753983-1.57079632675     		φ = 1.21926163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07336678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.795166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21926163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.858546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5571 KachelY 7371 -2.07336678 1.21926163 -118.795166 69.858546
    Oben rechts KachelX + 1 5572 KachelY 7371 -2.07317503 1.21926163 -118.784179 69.858546
    Unten links KachelX 5571 KachelY + 1 7372 -2.07336678 1.21919560 -118.795166 69.854762
    Unten rechts KachelX + 1 5572 KachelY + 1 7372 -2.07317503 1.21919560 -118.784179 69.854762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21926163-1.21919560) × R
    6.60300000001612e-05 × 6371000     		dl = 420.677130001027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21926163-1.21919560) × R
    6.60300000001612e-05 × 6371000     		dr = 420.677130001027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07336678--2.07317503) × cos(1.21926163) × R
    0.000191750000000379 × 0.344339055368614 × 6371000     		do = 420.658105347054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07336678--2.07317503) × cos(1.21919560) × R
    0.000191750000000379 × 0.344401046577212 × 6371000     		du = 420.733836240632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21926163)-sin(1.21919560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344339055368614-0.344401046577212)×R²
    abs(-2.07317503--2.07336678)×6.19912085976781e-05×R²
    0.000191750000000379×6.19912085976781e-05×6371000²
    0.000191750000000379×6.19912085976781e-05×40589641000000     		ar = 176977.173661301m²