Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55706 / 17262
↖ ↑ ↗
← N 78.708790°
W 26.998901°		 ← 59.79 m → N 78.708790°
W 26.996155°		 →
↑
59.76 m
↓
↑
59.76 m
↓
N 78.708252°
W 26.998901°		 ← 59.79 m →
3 573 m²		 N 78.708252°
W 26.996155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425006866455078 y=0.131702423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425006866455078 × 217)
    floor (0.425006866455078 × 131072)
    floor (55706.5)     		tx = 55706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131702423095703 × 217)
    floor (0.131702423095703 × 131072)
    floor (17262.5)     		ty = 17262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55706 / 17262 ti = "17/55706/17262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55706/17262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55706 ÷ 217
    55706 ÷ 131072     		x = 0.425003051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17262 ÷ 217
    17262 ÷ 131072     		y = 0.131698608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425003051757812 × 2 - 1) × π
    -0.149993896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47121972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131698608398438 × 2 - 1) × π
    0.736602783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31410589225859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47121972} λ = -0.47121972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31410589225859))-π/2
    2×atan(10.1158741926513)-π/2
    2×1.47226193007837-π/2
    2.94452386015673-1.57079632675     		φ = 1.37372753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47121972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.998901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37372753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.708790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55706 KachelY 17262 -0.47121972 1.37372753 -26.998901 78.708790
    Oben rechts KachelX + 1 55707 KachelY 17262 -0.47117179 1.37372753 -26.996155 78.708790
    Unten links KachelX 55706 KachelY + 1 17263 -0.47121972 1.37371815 -26.998901 78.708252
    Unten rechts KachelX + 1 55707 KachelY + 1 17263 -0.47117179 1.37371815 -26.996155 78.708252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37372753-1.37371815) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dl = 59.7599800003745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37372753-1.37371815) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dr = 59.7599800003745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47121972--0.47117179) × cos(1.37372753) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195795707136578 × 6371000     		do = 59.7885745965474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47121972--0.47117179) × cos(1.37371815) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195804905575314 × 6371000     		du = 59.7913834504729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37372753)-sin(1.37371815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195795707136578-0.195804905575314)×R²
    abs(-0.47117179--0.47121972)×9.19843873667392e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.19843873667392e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.19843873667392e-06×40589641000000     		ar = 3573.04795057817m²