Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5570 / 11841
↖ ↑ ↗
← S 62.278145°
W 57.612305°		 ← 1 136.56 m → S 62.278145°
W 57.590332°		 →
↑
1 136.40 m
↓
↑
1 136.40 m
↓
S 62.288365°
W 57.612305°		 ← 1 136.18 m →
1 291 366 m²		 S 62.288365°
W 57.590332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339996337890625 y=0.722747802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339996337890625 × 214)
    floor (0.339996337890625 × 16384)
    floor (5570.5)     		tx = 5570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722747802734375 × 214)
    floor (0.722747802734375 × 16384)
    floor (11841.5)     		ty = 11841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5570 / 11841 ti = "14/5570/11841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5570/11841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5570 ÷ 214
    5570 ÷ 16384     		x = 0.3399658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11841 ÷ 214
    11841 ÷ 16384     		y = 0.72271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3399658203125 × 2 - 1) × π
    -0.320068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00552441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.4454345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39937397370868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00552441} λ = -1.00552441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39937397370868))-π/2
    2×atan(0.246751388456254)-π/2
    2×0.241918817039312-π/2
    0.483837634078624-1.57079632675     		φ = -1.08695869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00552441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08695869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.278145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5570 KachelY 11841 -1.00552441 -1.08695869 -57.612305 -62.278145
    Oben rechts KachelX + 1 5571 KachelY 11841 -1.00514091 -1.08695869 -57.590332 -62.278145
    Unten links KachelX 5570 KachelY + 1 11842 -1.00552441 -1.08713706 -57.612305 -62.288365
    Unten rechts KachelX + 1 5571 KachelY + 1 11842 -1.00514091 -1.08713706 -57.590332 -62.288365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08695869--1.08713706) × R
    0.000178370000000205 × 6371000     		dl = 1136.39527000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08695869--1.08713706) × R
    0.000178370000000205 × 6371000     		dr = 1136.39527000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00552441--1.00514091) × cos(-1.08695869) × R
    0.000383500000000092 × 0.465179731126633 × 6371000     		do = 1136.56363569776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00552441--1.00514091) × cos(-1.08713706) × R
    0.000383500000000092 × 0.465021827704057 × 6371000     		du = 1136.1778336603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08695869)-sin(-1.08713706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465179731126633-0.465021827704057)×R²
    abs(-1.00514091--1.00552441)×0.0001579034225761×R²
    0.000383500000000092×0.0001579034225761×6371000²
    0.000383500000000092×0.0001579034225761×40589641000000     		ar = 1291366.33128007m²