Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 557 / 721
↖ ↑ ↗
← N 75.118222°
W131.044922°		 ← 2 509.95 m → N 75.118222°
W130.957031°		 →
↑
2 511.77 m
↓
↑
2 511.77 m
↓
N 75.095633°
W131.044922°		 ← 2 513.68 m →
6 309 089 m²		 N 75.095633°
W130.957031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1361083984375 y=0.1761474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1361083984375 × 212)
    floor (0.1361083984375 × 4096)
    floor (557.5)     		tx = 557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1761474609375 × 212)
    floor (0.1761474609375 × 4096)
    floor (721.5)     		ty = 721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 557 / 721 ti = "12/557/721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/557/721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 557 ÷ 212
    557 ÷ 4096     		x = 0.135986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 721 ÷ 212
    721 ÷ 4096     		y = 0.176025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135986328125 × 2 - 1) × π
    -0.72802734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.28716535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.176025390625 × 2 - 1) × π
    0.64794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.03559250546606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28716535} λ = -2.28716535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03559250546606))-π/2
    2×atan(7.65678747016627)-π/2
    2×1.44092831460896-π/2
    2.88185662921791-1.57079632675     		φ = 1.31106030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28716535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.044922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31106030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.118222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 557 KachelY 721 -2.28716535 1.31106030 -131.044922 75.118222
    Oben rechts KachelX + 1 558 KachelY 721 -2.28563137 1.31106030 -130.957031 75.118222
    Unten links KachelX 557 KachelY + 1 722 -2.28716535 1.31066605 -131.044922 75.095633
    Unten rechts KachelX + 1 558 KachelY + 1 722 -2.28563137 1.31066605 -130.957031 75.095633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31106030-1.31066605) × R
    0.00039425000000004 × 6371000     		dl = 2511.76675000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31106030-1.31066605) × R
    0.00039425000000004 × 6371000     		dr = 2511.76675000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28716535--2.28563137) × cos(1.31106030) × R
    0.00153398000000005 × 0.256825441878285 × 6371000     		do = 2509.95159687913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28716535--2.28563137) × cos(1.31066605) × R
    0.00153398000000005 × 0.257206447899179 × 6371000     		du = 2513.67516360822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31106030)-sin(1.31066605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.256825441878285-0.257206447899179)×R²
    abs(-2.28563137--2.28716535)×0.000381006020894248×R²
    0.00153398000000005×0.000381006020894248×6371000²
    0.00153398000000005×0.000381006020894248×40589641000000     		ar = 6309089.41242538m²