Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 557 / 336
↖ ↑ ↗
← N 76.184995°
W 82.089844°		 ← 4 667.35 m → N 76.184995°
W 81.914062°		 →
↑
4 674.28 m
↓
↑
4 674.28 m
↓
N 76.142959°
W 82.089844°		 ← 4 681.28 m →
21 849 044 m²		 N 76.142959°
W 81.914062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272216796875 y=0.164306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272216796875 × 211)
    floor (0.272216796875 × 2048)
    floor (557.5)     		tx = 557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164306640625 × 211)
    floor (0.164306640625 × 2048)
    floor (336.5)     		ty = 336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 557 / 336 ti = "11/557/336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/557/336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 557 ÷ 211
    557 ÷ 2048     		x = 0.27197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 336 ÷ 211
    336 ÷ 2048     		y = 0.1640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27197265625 × 2 - 1) × π
    -0.4560546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43273806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1640625 × 2 - 1) × π
    0.671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11075756407031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43273806} λ = -1.43273806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11075756407031))-π/2
    2×atan(8.25449222331149)-π/2
    2×1.45023766909548-π/2
    2.90047533819095-1.57079632675     		φ = 1.32967901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43273806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.089844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32967901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.184995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 557 KachelY 336 -1.43273806 1.32967901 -82.089844 76.184995
    Oben rechts KachelX + 1 558 KachelY 336 -1.42967009 1.32967901 -81.914062 76.184995
    Unten links KachelX 557 KachelY + 1 337 -1.43273806 1.32894533 -82.089844 76.142959
    Unten rechts KachelX + 1 558 KachelY + 1 337 -1.42967009 1.32894533 -81.914062 76.142959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32967901-1.32894533) × R
    0.000733679999999959 × 6371000     		dl = 4674.27527999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32967901-1.32894533) × R
    0.000733679999999959 × 6371000     		dr = 4674.27527999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43273806--1.42967009) × cos(1.32967901) × R
    0.00306797000000003 × 0.238787770060559 × 6371000     		do = 4667.35455770882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43273806--1.42967009) × cos(1.32894533) × R
    0.00306797000000003 × 0.239500161671703 × 6371000     		du = 4681.27899040612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32967901)-sin(1.32894533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238787770060559-0.239500161671703)×R²
    abs(-1.42967009--1.43273806)×0.000712391611144059×R²
    0.00306797000000003×0.000712391611144059×6371000²
    0.00306797000000003×0.000712391611144059×40589641000000     		ar = 21849044.3279523m²