Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55696 / 17265
↖ ↑ ↗
← N 78.707176°
W 27.026367°		 ← 59.80 m → N 78.707176°
W 27.023621°		 →
↑
59.76 m
↓
↑
59.76 m
↓
N 78.706639°
W 27.026367°		 ← 59.80 m →
3 574 m²		 N 78.706639°
W 27.023621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424930572509766 y=0.131725311279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424930572509766 × 217)
    floor (0.424930572509766 × 131072)
    floor (55696.5)     		tx = 55696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131725311279297 × 217)
    floor (0.131725311279297 × 131072)
    floor (17265.5)     		ty = 17265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55696 / 17265 ti = "17/55696/17265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55696/17265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55696 ÷ 217
    55696 ÷ 131072     		x = 0.4249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17265 ÷ 217
    17265 ÷ 131072     		y = 0.131721496582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4249267578125 × 2 - 1) × π
    -0.150146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47169909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131721496582031 × 2 - 1) × π
    0.736557006835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.31396208155973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47169909} λ = -0.47169909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31396208155973))-π/2
    2×atan(10.1144195263149)-π/2
    2×1.47224785032708-π/2
    2.94449570065415-1.57079632675     		φ = 1.37369937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47169909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.026367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37369937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.707176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55696 KachelY 17265 -0.47169909 1.37369937 -27.026367 78.707176
    Oben rechts KachelX + 1 55697 KachelY 17265 -0.47165116 1.37369937 -27.023621 78.707176
    Unten links KachelX 55696 KachelY + 1 17266 -0.47169909 1.37368999 -27.026367 78.706639
    Unten rechts KachelX + 1 55697 KachelY + 1 17266 -0.47165116 1.37368999 -27.023621 78.706639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37369937-1.37368999) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dl = 59.7599800003745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37369937-1.37368999) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dr = 59.7599800003745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47169909--0.47165116) × cos(1.37369937) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.195823322013887 × 6371000     		do = 59.7970071314716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47169909--0.47165116) × cos(1.37368999) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.195832520400901 × 6371000     		du = 59.799815969603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37369937)-sin(1.37368999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195823322013887-0.195832520400901)×R²
    abs(-0.47165116--0.47169909)×9.19838701418652e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.19838701418652e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.19838701418652e-06×40589641000000     		ar = 3573.55187831909m²