Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55688 / 15528
↖ ↑ ↗
← N 79.604251°
W 27.048340°		 ← 55.11 m → N 79.604251°
W 27.045593°		 →
↑
55.11 m
↓
↑
55.11 m
↓
N 79.603755°
W 27.048340°		 ← 55.12 m →
3 037 m²		 N 79.603755°
W 27.045593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424869537353516 y=0.118473052978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424869537353516 × 217)
    floor (0.424869537353516 × 131072)
    floor (55688.5)     		tx = 55688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118473052978516 × 217)
    floor (0.118473052978516 × 131072)
    floor (15528.5)     		ty = 15528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55688 / 15528 ti = "17/55688/15528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55688/15528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55688 ÷ 217
    55688 ÷ 131072     		x = 0.42486572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15528 ÷ 217
    15528 ÷ 131072     		y = 0.11846923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42486572265625 × 2 - 1) × π
    -0.1502685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47208259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11846923828125 × 2 - 1) × π
    0.7630615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39722847619977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47208259} λ = -0.47208259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39722847619977))-π/2
    2×atan(10.9926676822693)-π/2
    2×1.48007629886955-π/2
    2.96015259773909-1.57079632675     		φ = 1.38935627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47208259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.048340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38935627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.604251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55688 KachelY 15528 -0.47208259 1.38935627 -27.048340 79.604251
    Oben rechts KachelX + 1 55689 KachelY 15528 -0.47203465 1.38935627 -27.045593 79.604251
    Unten links KachelX 55688 KachelY + 1 15529 -0.47208259 1.38934762 -27.048340 79.603755
    Unten rechts KachelX + 1 55689 KachelY + 1 15529 -0.47203465 1.38934762 -27.045593 79.603755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38935627-1.38934762) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dl = 55.1091500003469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38935627-1.38934762) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dr = 55.1091500003469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47208259--0.47203465) × cos(1.38935627) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.180446178098587 × 6371000     		do = 55.1129074759603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47208259--0.47203465) × cos(1.38934762) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.180454686100875 × 6371000     		du = 55.1155060388551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38935627)-sin(1.38934762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180446178098587-0.180454686100875)×R²
    abs(-0.47203465--0.47208259)×8.50800228818782e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.50800228818782e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.50800228818782e-06×40589641000000     		ar = 3037.29708741071m²