Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55687 / 18059
↖ ↑ ↗
← N 78.272062°
W 27.051086°		 ← 62.07 m → N 78.272062°
W 27.048340°		 →
↑
62.05 m
↓
↑
62.05 m
↓
N 78.271504°
W 27.051086°		 ← 62.07 m →
3 852 m²		 N 78.271504°
W 27.048340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424861907958984 y=0.137783050537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424861907958984 × 217)
    floor (0.424861907958984 × 131072)
    floor (55687.5)     		tx = 55687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137783050537109 × 217)
    floor (0.137783050537109 × 131072)
    floor (18059.5)     		ty = 18059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55687 / 18059 ti = "17/55687/18059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55687/18059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55687 ÷ 217
    55687 ÷ 131072     		x = 0.424858093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18059 ÷ 217
    18059 ÷ 131072     		y = 0.137779235839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424858093261719 × 2 - 1) × π
    -0.150283813476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.47213052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137779235839844 × 2 - 1) × π
    0.724441528320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.27590018326141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47213052} λ = -0.47213052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27590018326141))-π/2
    2×atan(9.73667986501808)-π/2
    2×1.4684507598405-π/2
    2.936901519681-1.57079632675     		φ = 1.36610519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47213052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.051086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36610519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.272062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55687 KachelY 18059 -0.47213052 1.36610519 -27.051086 78.272062
    Oben rechts KachelX + 1 55688 KachelY 18059 -0.47208259 1.36610519 -27.048340 78.272062
    Unten links KachelX 55687 KachelY + 1 18060 -0.47213052 1.36609545 -27.051086 78.271504
    Unten rechts KachelX + 1 55688 KachelY + 1 18060 -0.47208259 1.36609545 -27.048340 78.271504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36610519-1.36609545) × R
    9.74000000009134e-06 × 6371000     		dl = 62.0535400005819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36610519-1.36609545) × R
    9.74000000009134e-06 × 6371000     		dr = 62.0535400005819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47213052--0.47208259) × cos(1.36610519) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.20326475428612 × 6371000     		do = 62.069337996227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47213052--0.47208259) × cos(1.36609545) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.20327429094241 × 6371000     		du = 62.072250128951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36610519)-sin(1.36609545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20326475428612-0.20327429094241)×R²
    abs(-0.47208259--0.47213052)×9.53665628938838e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.53665628938838e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.53665628938838e-06×40589641000000     		ar = 3851.71250220523m²