Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55687 / 17290
↖ ↑ ↗
← N 78.693723°
W 27.051086°		 ← 59.87 m → N 78.693723°
W 27.048340°		 →
↑
59.89 m
↓
↑
59.89 m
↓
N 78.693184°
W 27.051086°		 ← 59.87 m →
3 585 m²		 N 78.693184°
W 27.048340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424861907958984 y=0.131916046142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424861907958984 × 217)
    floor (0.424861907958984 × 131072)
    floor (55687.5)     		tx = 55687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131916046142578 × 217)
    floor (0.131916046142578 × 131072)
    floor (17290.5)     		ty = 17290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55687 / 17290 ti = "17/55687/17290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55687/17290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55687 ÷ 217
    55687 ÷ 131072     		x = 0.424858093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17290 ÷ 217
    17290 ÷ 131072     		y = 0.131912231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424858093261719 × 2 - 1) × π
    -0.150283813476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.47213052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131912231445312 × 2 - 1) × π
    0.736175537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31276365906923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47213052} λ = -0.47213052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31276365906923))-π/2
    2×atan(10.1023054388235)-π/2
    2×1.47213044181688-π/2
    2.94426088363377-1.57079632675     		φ = 1.37346456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47213052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.051086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37346456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.693723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55687 KachelY 17290 -0.47213052 1.37346456 -27.051086 78.693723
    Oben rechts KachelX + 1 55688 KachelY 17290 -0.47208259 1.37346456 -27.048340 78.693723
    Unten links KachelX 55687 KachelY + 1 17291 -0.47213052 1.37345516 -27.051086 78.693184
    Unten rechts KachelX + 1 55688 KachelY + 1 17291 -0.47208259 1.37345516 -27.048340 78.693184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37346456-1.37345516) × R
    9.39999999993724e-06 × 6371000     		dl = 59.8873999996001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37346456-1.37345516) × R
    9.39999999993724e-06 × 6371000     		dr = 59.8873999996001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47213052--0.47208259) × cos(1.37346456) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.196053580502213 × 6371000     		do = 59.8673193308916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47213052--0.47208259) × cos(1.37345516) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.196062798069486 × 6371000     		du = 59.8701340259456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37346456)-sin(1.37345516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196053580502213-0.196062798069486)×R²
    abs(-0.47208259--0.47213052)×9.21756727284562e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.21756727284562e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.21756727284562e-06×40589641000000     		ar = 3585.38238221916m²