Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55684 / 17292
↖ ↑ ↗
← N 78.692645°
W 27.059326°		 ← 59.89 m → N 78.692645°
W 27.056580°		 →
↑
59.89 m
↓
↑
59.89 m
↓
N 78.692107°
W 27.059326°		 ← 59.89 m →
3 586 m²		 N 78.692107°
W 27.056580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424839019775391 y=0.131931304931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424839019775391 × 217)
    floor (0.424839019775391 × 131072)
    floor (55684.5)     		tx = 55684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131931304931641 × 217)
    floor (0.131931304931641 × 131072)
    floor (17292.5)     		ty = 17292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55684 / 17292 ti = "17/55684/17292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55684/17292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55684 ÷ 217
    55684 ÷ 131072     		x = 0.424835205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17292 ÷ 217
    17292 ÷ 131072     		y = 0.131927490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424835205078125 × 2 - 1) × π
    -0.15032958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47227434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131927490234375 × 2 - 1) × π
    0.73614501953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31266778526999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47227434} λ = -0.47227434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31266778526999))-π/2
    2×atan(10.1013369388476)-π/2
    2×1.47212104317413-π/2
    2.94424208634827-1.57079632675     		φ = 1.37344576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47227434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.059326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37344576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.692645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55684 KachelY 17292 -0.47227434 1.37344576 -27.059326 78.692645
    Oben rechts KachelX + 1 55685 KachelY 17292 -0.47222640 1.37344576 -27.056580 78.692645
    Unten links KachelX 55684 KachelY + 1 17293 -0.47227434 1.37343636 -27.059326 78.692107
    Unten rechts KachelX + 1 55685 KachelY + 1 17293 -0.47222640 1.37343636 -27.056580 78.692107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37344576-1.37343636) × R
    9.40000000015928e-06 × 6371000     		dl = 59.8874000010148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37344576-1.37343636) × R
    9.40000000015928e-06 × 6371000     		dr = 59.8874000010148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47227434--0.47222640) × cos(1.37344576) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.196072015619435 × 6371000     		do = 59.8854404638875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47227434--0.47222640) × cos(1.37343636) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.196081233152059 × 6371000     		du = 59.8882557356102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37344576)-sin(1.37343636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196072015619435-0.196081233152059)×R²
    abs(-0.47222640--0.47227434)×9.21753262406177e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.21753262406177e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.21753262406177e-06×40589641000000     		ar = 3586.46762702487m²