Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55684 / 17285
↖ ↑ ↗
← N 78.696414°
W 27.059326°		 ← 59.87 m → N 78.696414°
W 27.056580°		 →
↑
59.82 m
↓
↑
59.82 m
↓
N 78.695876°
W 27.059326°		 ← 59.87 m →
3 581 m²		 N 78.695876°
W 27.056580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424839019775391 y=0.131877899169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424839019775391 × 217)
    floor (0.424839019775391 × 131072)
    floor (55684.5)     		tx = 55684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131877899169922 × 217)
    floor (0.131877899169922 × 131072)
    floor (17285.5)     		ty = 17285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55684 / 17285 ti = "17/55684/17285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55684/17285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55684 ÷ 217
    55684 ÷ 131072     		x = 0.424835205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17285 ÷ 217
    17285 ÷ 131072     		y = 0.131874084472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424835205078125 × 2 - 1) × π
    -0.15032958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47227434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131874084472656 × 2 - 1) × π
    0.736251831054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.31300334356733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47227434} λ = -0.47227434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31300334356733))-π/2
    2×atan(10.1047270950374)-π/2
    2×1.47215393455837-π/2
    2.94430786911675-1.57079632675     		φ = 1.37351154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47227434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.059326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37351154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.696414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55684 KachelY 17285 -0.47227434 1.37351154 -27.059326 78.696414
    Oben rechts KachelX + 1 55685 KachelY 17285 -0.47222640 1.37351154 -27.056580 78.696414
    Unten links KachelX 55684 KachelY + 1 17286 -0.47227434 1.37350215 -27.059326 78.695876
    Unten rechts KachelX + 1 55685 KachelY + 1 17286 -0.47222640 1.37350215 -27.056580 78.695876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37351154-1.37350215) × R
    9.38999999999801e-06 × 6371000     		dl = 59.8236899999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37351154-1.37350215) × R
    9.38999999999801e-06 × 6371000     		dr = 59.8236899999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47227434--0.47222640) × cos(1.37351154) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.196007512018063 × 6371000     		do = 59.865739403706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47227434--0.47222640) × cos(1.37350215) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.196016719865902 × 6371000     		du = 59.868551717446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37351154)-sin(1.37350215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196007512018063-0.196016719865902)×R²
    abs(-0.47222640--0.47227434)×9.20784783886575e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.20784783886575e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.20784783886575e-06×40589641000000     		ar = 3581.47355726509m²