Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55682 / 12930
↖ ↑ ↗
← N 80.816014°
W 27.064819°		 ← 48.75 m → N 80.816014°
W 27.062073°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.815576°
W 27.064819°		 ← 48.75 m →
2 379 m²		 N 80.815576°
W 27.062073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424823760986328 y=0.0986518859863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424823760986328 × 217)
    floor (0.424823760986328 × 131072)
    floor (55682.5)     		tx = 55682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0986518859863281 × 217)
    floor (0.0986518859863281 × 131072)
    floor (12930.5)     		ty = 12930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55682 / 12930 ti = "17/55682/12930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55682/12930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55682 ÷ 217
    55682 ÷ 131072     		x = 0.424819946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12930 ÷ 217
    12930 ÷ 131072     		y = 0.0986480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424819946289062 × 2 - 1) × π
    -0.150360107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47237021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0986480712890625 × 2 - 1) × π
    0.802703857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52176854141267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47237021} λ = -0.47237021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52176854141267))-π/2
    2×atan(12.4505965996433)-π/2
    2×1.49065093136804-π/2
    2.98130186273608-1.57079632675     		φ = 1.41050554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47237021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.064819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41050554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.816014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55682 KachelY 12930 -0.47237021 1.41050554 -27.064819 80.816014
    Oben rechts KachelX + 1 55683 KachelY 12930 -0.47232227 1.41050554 -27.062073 80.816014
    Unten links KachelX 55682 KachelY + 1 12931 -0.47237021 1.41049788 -27.064819 80.815576
    Unten rechts KachelX + 1 55683 KachelY + 1 12931 -0.47232227 1.41049788 -27.062073 80.815576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41050554-1.41049788) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dl = 48.8018599990692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41050554-1.41049788) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dr = 48.8018599990692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47237021--0.47232227) × cos(1.41050554) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.159605272532036 × 6371000     		do = 48.7475584710233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47237021--0.47232227) × cos(1.41049788) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.159612834333155 × 6371000     		du = 48.7498680397257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41050554)-sin(1.41049788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159605272532036-0.159612834333155)×R²
    abs(-0.47232227--0.47237021)×7.56180111860516e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.56180111860516e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.56180111860516e-06×40589641000000     		ar = 2379.02787946884m²