Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55681 / 12929
↖ ↑ ↗
← N 80.816453°
W 27.067566°		 ← 48.75 m → N 80.816453°
W 27.064819°		 →
↑
48.74 m
↓
↑
48.74 m
↓
N 80.816014°
W 27.067566°		 ← 48.75 m →
2 376 m²		 N 80.816014°
W 27.064819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424816131591797 y=0.0986442565917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424816131591797 × 217)
    floor (0.424816131591797 × 131072)
    floor (55681.5)     		tx = 55681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0986442565917969 × 217)
    floor (0.0986442565917969 × 131072)
    floor (12929.5)     		ty = 12929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55681 / 12929 ti = "17/55681/12929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55681/12929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55681 ÷ 217
    55681 ÷ 131072     		x = 0.424812316894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12929 ÷ 217
    12929 ÷ 131072     		y = 0.0986404418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424812316894531 × 2 - 1) × π
    -0.150375366210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.47241815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0986404418945312 × 2 - 1) × π
    0.802719116210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.52181647831229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47241815} λ = -0.47241815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52181647831229))-π/2
    2×atan(12.4511934569484)-π/2
    2×1.49065475676859-π/2
    2.98130951353718-1.57079632675     		φ = 1.41051319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47241815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.067566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41051319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.816453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55681 KachelY 12929 -0.47241815 1.41051319 -27.067566 80.816453
    Oben rechts KachelX + 1 55682 KachelY 12929 -0.47237021 1.41051319 -27.064819 80.816453
    Unten links KachelX 55681 KachelY + 1 12930 -0.47241815 1.41050554 -27.067566 80.816014
    Unten rechts KachelX + 1 55682 KachelY + 1 12930 -0.47237021 1.41050554 -27.064819 80.816014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41051319-1.41050554) × R
    7.65000000013671e-06 × 6371000     		dl = 48.738150000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41051319-1.41050554) × R
    7.65000000013671e-06 × 6371000     		dr = 48.738150000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47241815--0.47237021) × cos(1.41051319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159597720593374 × 6371000     		do = 48.7452519145124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47241815--0.47237021) × cos(1.41050554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159605272532036 × 6371000     		du = 48.7475584709668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41051319)-sin(1.41050554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159597720593374-0.159605272532036)×R²
    abs(-0.47237021--0.47241815)×7.55193866247561e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.55193866247561e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.55193866247561e-06×40589641000000     		ar = 2375.8096082774m²