Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55681 / 12927
↖ ↑ ↗
← N 80.817329°
W 27.067566°		 ← 48.74 m → N 80.817329°
W 27.064819°		 →
↑
48.74 m
↓
↑
48.74 m
↓
N 80.816891°
W 27.067566°		 ← 48.74 m →
2 376 m²		 N 80.816891°
W 27.064819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424816131591797 y=0.0986289978027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424816131591797 × 217)
    floor (0.424816131591797 × 131072)
    floor (55681.5)     		tx = 55681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0986289978027344 × 217)
    floor (0.0986289978027344 × 131072)
    floor (12927.5)     		ty = 12927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55681 / 12927 ti = "17/55681/12927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55681/12927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55681 ÷ 217
    55681 ÷ 131072     		x = 0.424812316894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12927 ÷ 217
    12927 ÷ 131072     		y = 0.0986251831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424812316894531 × 2 - 1) × π
    -0.150375366210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.47241815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0986251831054688 × 2 - 1) × π
    0.802749633789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.52191235211153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47241815} λ = -0.47241815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52191235211153))-π/2
    2×atan(12.4523872573963)-π/2
    2×1.49066240702662-π/2
    2.98132481405324-1.57079632675     		φ = 1.41052849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47241815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.067566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41052849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.817329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55681 KachelY 12927 -0.47241815 1.41052849 -27.067566 80.817329
    Oben rechts KachelX + 1 55682 KachelY 12927 -0.47237021 1.41052849 -27.064819 80.817329
    Unten links KachelX 55681 KachelY + 1 12928 -0.47241815 1.41052084 -27.067566 80.816891
    Unten rechts KachelX + 1 55682 KachelY + 1 12928 -0.47237021 1.41052084 -27.064819 80.816891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41052849-1.41052084) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dl = 48.7381499994564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41052849-1.41052084) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dr = 48.7381499994564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47241815--0.47237021) × cos(1.41052849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159582616688029 × 6371000     		do = 48.7406387930458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47241815--0.47237021) × cos(1.41052084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159590168645371 × 6371000     		du = 48.7429453552054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41052849)-sin(1.41052084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159582616688029-0.159590168645371)×R²
    abs(-0.47237021--0.47241815)×7.55195734192249e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.55195734192249e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.55195734192249e-06×40589641000000     		ar = 2375.58477342692m²