Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5568 / 11967
↖ ↑ ↗
← S 63.538763°
W 57.656250°		 ← 1 088.71 m → S 63.538763°
W 57.634277°		 →
↑
1 088.49 m
↓
↑
1 088.49 m
↓
S 63.548552°
W 57.656250°		 ← 1 088.33 m →
1 184 837 m²		 S 63.548552°
W 57.634277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339874267578125 y=0.730438232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339874267578125 × 214)
    floor (0.339874267578125 × 16384)
    floor (5568.5)     		tx = 5568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730438232421875 × 214)
    floor (0.730438232421875 × 16384)
    floor (11967.5)     		ty = 11967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5568 / 11967 ti = "14/5568/11967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5568/11967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5568 ÷ 214
    5568 ÷ 16384     		x = 0.33984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11967 ÷ 214
    11967 ÷ 16384     		y = 0.73040771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33984375 × 2 - 1) × π
    -0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73040771484375 × 2 - 1) × π
    -0.4608154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4476943685257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00629140} λ = -1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4476943685257))-π/2
    2×atan(0.235111744692789)-π/2
    2×0.23091785432254-π/2
    0.461835708645079-1.57079632675     		φ = -1.10896062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10896062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.538763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5568 KachelY 11967 -1.00629140 -1.10896062 -57.656250 -63.538763
    Oben rechts KachelX + 1 5569 KachelY 11967 -1.00590790 -1.10896062 -57.634277 -63.538763
    Unten links KachelX 5568 KachelY + 1 11968 -1.00629140 -1.10913147 -57.656250 -63.548552
    Unten rechts KachelX + 1 5569 KachelY + 1 11968 -1.00590790 -1.10913147 -57.634277 -63.548552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10896062--1.10913147) × R
    0.000170849999999945 × 6371000     		dl = 1088.48534999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10896062--1.10913147) × R
    0.000170849999999945 × 6371000     		dr = 1088.48534999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00629140--1.00590790) × cos(-1.10896062) × R
    0.000383500000000092 × 0.445592247687712 × 6371000     		do = 1088.70595854232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00629140--1.00590790) × cos(-1.10913147) × R
    0.000383500000000092 × 0.445439290109431 × 6371000     		du = 1088.3322405799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10896062)-sin(-1.10913147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445592247687712-0.445439290109431)×R²
    abs(-1.00590790--1.00629140)×0.000152957578280211×R²
    0.000383500000000092×0.000152957578280211×6371000²
    0.000383500000000092×0.000152957578280211×40589641000000     		ar = 1184837.09594815m²